En un Cubo de Rubik resuelto, ¿es posible mezclarlo y lograr cualquier configuración de colores usando movimientos legales?

Answer 1

No. La razón es que hay un concepto llamado paridad y un cubo Rubik de 3x3x3 tiene tres tipos de paridad que no se pueden romper, con el esquema de coloración estándar. Las paridades conservadas son:
1) Cualquiera de las dos piezas de esquina se puede girar simultáneamente en su lugar en direcciones opuestas.
2) Cualquiera de los dos bordes se puede alternar simultáneamente en su lugar.
3) Cualquier dos piezas similares en un par pueden intercambiarse entre sí por cada uno de los dos pares.

No puede girar solo una esquina, alternar solo un borde o intercambiar piezas dentro de un solo par.

Ahora 1), 2) y 3) pueden repetirse o superponerse de modo que exactamente tres piezas se desplacen en el cubo de Rubik. Además, el caso 3) es un poco más complicado ya que ambas esquinas y bordes pueden intercambiarse, pero estas dos situaciones no son completamente independientes entre sí, por lo que creo que considerar ambas implica solo dos conjuntos de posiciones completamente independientes.

Entonces, considerando los tres casos de paridad irrompible, hay 12 conjuntos de posiciones no superpuestas posibles. Hay 3 conjuntos de rotaciones de esquina no superpuestos, 2 conjuntos para alternar y 2 conjuntos para el intercambio. La aplicación simultánea de estos resultados es el producto de estos, que es 3 x 2 x 2 = 12 juegos. Solo uno de estos conjuntos es posible sin desmontar el cubo de Rubik y volver a armarlo. No importa cómo lo vuelva a armar, será una permutación de uno de estos 12 conjuntos.

Ahora, ¿por qué sucede lo de la paridad con el cubo de Rubik? La paridad es una consecuencia del hecho de que cualquier manipulación del cubo de Rubik es reversible. Se puede demostrar que la paridad se sigue razonablemente del hecho de que cuando se invierte una serie de manipulaciones del cubo, el cubo siempre vuelve a la permutación de colores que tenía antes de que las manipulaciones se aplicaran y luego se deshacieran.

Para aclarar con el ejemplo, si aplica una manipulación al cubo de modo que no se cambie una rebanada, excepto que se rota una esquina, el resto del cubo estará en mal estado. Pero si luego gira esa rebanada para que la esquina girada se reemplace por otra esquina no girada, Y LUEGO invierta la manipulación del cubo, la rebanada tendrá dos esquinas giradas en direcciones opuestas con el resto de la rebanada intacta, y el resto del cubo se enderezará porque deshicimos la manipulación que le hicimos a esa parte del cubo. Las rotaciones opuestas de dos esquinas se llaman paridad de rotación.

El resultado después de que finalmente invertimos la rotación de la rebanada, es que dos esquinas se torcerán en direcciones opuestas y el resto de las piezas permanecerán sin cambios desde donde comenzamos.

Por otro lado, la paridad es una gran cosa en la física de partículas, donde las partículas son idénticas, excepto por algún atributo binario como la carga, y es una tarea importante en física de partículas investigar si se puede romper la paridad.

Esto no es una prueba, pero es una explicación clara de la naturaleza de las diversas paridades del cubo de Rubik que pueden surgir. El argumento dependía solo de unos pocos conceptos simples como la reversibilidad. No he demostrado que los conjuntos sean independientes, pero he descrito algunos hechos que lo hacen todo muy razonable.

El otro extremo suelto es que el esquema de color afecta estas consideraciones. Por ejemplo, si el cubo de Rubik fuera de un solo color, no hay una parte a tener en cuenta, o si el cuadrado central de cada cara se coloreó con un patrón, ¿se tuvo en cuenta la orientación de los cuadrados centrales, el posible número de permutaciones de color? Sería más grande y más complicado.

Answer 2

No. Si desarma el rompecabezas y lo vuelve a armar al azar, solo hay una posibilidad entre 12 de que la configuración resultante sea solucionable. Por el contrario, desde un estado resuelto válido, solo se puede alcanzar 1/12 de todos los arreglos posibles de las piezas haciendo movimientos legítimos.

Estoy bastante orgulloso del hecho de que proporcioné la primera prueba del hecho anterior en 1980. Aunque Internet no existía en ese momento, ARPANET sí; y el mensaje que publiqué en la lista de correo MIT CUBE-LOVERS todavía está disponible en línea: Clasificación de órbita. En ese mensaje, proporcioné pruebas de las propiedades invariantes correspondientes a las tres cosas que John Sellers menciona en su respuesta.

(Desafortunadamente, la forma en que Sellers describe estas cosas no es precisamente correcta de varias maneras. No describe los invariantes en sí, sino que simplemente enumera algunas consecuencias de ellos. El invariante para la orientación de la esquina tiene un valor de 3, la razón por la cual es totalmente poco claro a partir de su descripción. En lo que respecta a los invariantes de 2 valores (las paridades), no surgen de la reversibilidad de los movimientos. Esa es una condición necesaria, pero no suficiente. Las paridades de las que estamos hablando son paridades de permutación como tratado en teoría de grupo y tiene poco que ver con los conceptos de paridad mucho más complicados tratados por los físicos).

(Mucho más tarde me di cuenta de que hay una manera mucho más fácil de probar lo que llamé Paridad de orientación de borde. Todo lo que tiene que hacer es observar que la paridad de permutación de las etiquetas en las piezas de borde no puede cambiar. Esto es cierto porque un cuarto de vuelta produce 2 4 ciclos de dichos adhesivos).

Answer 3

Hay algunas combinaciones que no es posible alcanzar usando giros legales. Por ejemplo, es imposible tener solo una esquina retorcida o solo un borde invertido a menos que tuerza manualmente una esquina o saque un borde y lo coloque hacia atrás o al revés.

Answer 4

No. Más del 85% de las configuraciones son imposibles. Si tuviera que desmontar un cubo, podría volver a montarlo en 12 órbitas distintas.

Answer 5

Sí, puedo crear un cubo de Rubik de tablero de ajedrez con los mismos movimientos / algoritmos, solo importa dónde colocas las piezas cuando lo resuelves.