La pregunta no establecía qué se permite para la geometría de la disposición, y sin ninguna restricción de este tipo hay un número infinito de posibles disposiciones (por ejemplo, en círculos de infinitos radios diferentes, así como infinitos muchos más no a lo largo de los círculos). Pero supongamos que solo hay 8 posiciones posibles para las bolas, igualmente espaciadas alrededor de un círculo, por ejemplo, etiquetadas con las letras A, B, C, D, E, F, G, H, con las posiciones A y E opuestas, B y F opuesto, C y G opuesto, y D y H opuestos, y cada posición necesita tener exactamente una bola.
Luego hay 8 posibilidades para que la pelota entre en la posición A. Esto determina qué entra en la posición E, de modo que esos dos números de bolas sumen 9, dejando 6 bolas posibles para la posición B. Esto determina lo que entra en la posición F, dejando 4 posibilidades para la posición C. Esto determina lo que entra en la posición G, dejando 2 posibilidades para la posición D, y luego la bola restante irá a la posición H y automáticamente sumará 9 con la bola en la posición D.
Por lo tanto, hay 8 !! = 8x6x4x2 = 384 formas posibles de organizar las 8 bolas en las 8 posiciones.
Ahora, si uno pudiera rotar el círculo de 8 posiciones para que la bola 1 estuviera en la posición A, y esta disposición rotada se cuenta igual que la original (es decir, si solo importa el orden de las bolas en el sentido de las agujas del reloj, entonces 12348765 , con 1 siendo la siguiente bola después del 5 a lo largo del círculo, se cuenta como 87651234, siendo el 8 la siguiente bola después del 4), entonces solo hay 384/8 = 48 arreglos diferentes.
Si a uno se le permite cambiar la disposición al revés, de modo que lo que era un orden en el sentido de las agujas del reloj ahora es un orden en sentido contrario, pero los dos se consideran lo mismo (es decir, si solo el orden importa, sin importar si es en sentido horario o antihorario) , por lo que no solo 12348765 es equivalente a 87651234, sino que también son equivalentes a 56784321 y 43215678), entonces solo hay 48/2 = 24 arreglos diferentes.