¿Qué hice mal al calcular la importancia de ganar un punto en 40-40 en el tenis?

Answer 1

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[math] G = [/ math] el evento en que el servidor gana el juego dado deuce.

[matemáticas] A = [/ matemáticas] el evento en que el servidor gana un punto.

[matemática] B = [/ matemática] el evento en el que el servidor pierde un punto.

Primero, derivemos la declaración ‘dada’ (solo para tener una intuición del problema). En deuce, hay 4 posibilidades para los próximos resultados de 2 puntos. El servidor puede hacer uno de los siguientes:

1. Win # 1 y Win # 2 (el servidor ya ganó; la probabilidad de ganar es 1)
2. Gana # 1 y Pierde # 2 (de vuelta en deuce; la probabilidad de ganar es [matemática] P_G [/ matemática])
3. Pierde el n. ° 1 y gana el n. ° 2 (de nuevo en deuce, la probabilidad de ganar es [matemática] P_G [/ matemática])
4. Pierde # 1 y Pierde # 2 (el servidor ya ha perdido; la probabilidad de ganar es 0).

Traduciendo esto a las matemáticas, podemos escribir [math] P_G [/ math] como:

[matemáticas] P_G = (P_A) (P_A) (1) + (1-P_A) (P_A) (P_G) + P (A) (1-P_A) (P_G) + (1-P_A) (1-P_A) (0) [/ matemáticas]

[matemáticas] P_G = P_A ^ 2 + 2 (1-P_A) (P_A) (P_G) [/ matemáticas]

[matemáticas] P_G (1 – 2 (1-P_A) (P_A)) = P_A ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] P_G = \ dfrac {P_A ^ 2} {1 – 2P_A (1-P_A)} [/ matemática].

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¡Genial, ahora estamos listos para comenzar a resolver el problema! Comenzando en deuce, echemos un vistazo hacia adelante. Si el servidor gana el punto, tiene razón en que solo necesita un punto más para ganar (lo que ocurre con probabilidad [matemática] P_A [/ matemática]). Lo que te perdiste es que el servidor ahora puede PERDER el siguiente punto (es decir, volver a Deuce) pero aún así ganar el juego eventualmente. Esa probabilidad se define de forma recursiva como [matemáticas] (1-P_A) (P_G) [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] P (G \ mid A) = (P_A) (1) + (1-P_A) (P_G) [/ matemáticas]

Si el servidor pierde el punto en deuce, entonces tiene razón al decir que el servidor necesita ganar un punto más para volver a deuce. Si el servidor pierde otro punto, entonces el juego ha terminado. Entonces

[matemáticas] P (G \ mid B) = (P_A) (P_G) + (1-P_A) (0) = (P_A) (P_G) [/ matemática]

Ahora podemos restar las dos probabilidades que hemos derivado:

[matemática] P (G \ mid A) – P (G \ mid B) [/ math]

[matemáticas] = P_A + (1-P_A) (P_G) – (P_A) (P_G) [/ matemáticas]

[matemáticas] = P_A + P_G – 2 (P_A) (P_G) [/ matemáticas]

[matemáticas] = P_A + (P_G) (1 – 2P_A) [/ matemáticas]

[matemáticas] = P_A + \ dfrac {P_A ^ 2} {1–2P_A (1-P_A)} \ veces (1–2P_A) [/ matemáticas]

Esta expresión realmente no se simplifica, pero cuando la grafica, la curva de importancia se parece a una [matemática] U [/ matemática] invertida, que va desde [matemática] 0 [/ matemática] (cuando [matemática] P_A = 0 [/ matemática]) a un máximo de [matemática] 0.5 [/ matemática] (cuando [matemática] P_A = 0.5 [/ matemática]), y luego volver a [matemática] 0 [/ matemática] (cuando [matemática] ] P_A = 1 [/ math]), aunque la función solo tiene sentido para [math] P_A [/ math] en [math] (0, 1) [/ math] exclusivo.

Intuitivamente, esta trama tiene sentido. Si su probabilidad de ganar un punto es (casi) [matemáticas] 0 [/ matemáticas], entonces perderá el juego casi sin importar qué, por lo que hay poca importancia para ganar ese punto de deuce (digo casi [matemáticas] 0 [ / math] porque en [math] P_A = 0 [/ math] nunca podrías llegar a deuce).

Por el contrario, si ganas casi todos los puntos, ganarás casi sin importar qué. De nuevo, la importancia de un solo punto se aproxima a [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a medida que [matemáticas] P_A [/ matemáticas] se acerca a [matemáticas] 1. [/ matemáticas] Similar al caso anterior, ‘importancia’ está mal definida en [matemáticas] P_A = 1 [/ matemáticas] porque nunca perderías un punto. ¡Espero que esto ayude!