¿Qué significa, geométricamente hablando, poner un cubo en un cubo dado que el cuadrado nunca es negativo pero un cubo puede serlo?

Answer 1

Creo que la forma más fácil de pensar es darse cuenta de que:

– El cuadrado algebraico de un número, [matemática] n ^ 2 [/ matemática], no es lo mismo que el objeto geométrico que llamamos ‘cuadrado’, de longitud lateral [matemática] n [/ matemática]. Hay muchas propiedades útiles / interesantes que nos enseñan en la escuela y aprendemos a aprovechar cuando hacemos ciertos tipos de matemáticas, pero no son el mismo objeto, o incluso la misma clase de objeto- [matemáticas] n ^ 2 [/ math] es un número, y solo un número, mientras que un cuadrado de longitud lateral [math] n [/ math] es una forma geométrica bidimensional, ¡no un número! No importa cuánto se haya perforado en nuestras cabezas 🙂

– Seguimiento de lo anterior: si le pregunto qué es [matemática] -5 * -5 [/ matemática], diría 25 de inmediato, y luego podríamos imaginar un cuadrado del área 25, no hay problema. Pero eso no significa que en realidad podríamos construir un cuadrado de tablones de madera que tengan [matemáticas] -5 [/ matemáticas] pies de largo. Obviamente, no existe una pieza de madera [matemática] -5 [/ matemática] de un pie de largo (ni nada, para el caso). Del mismo modo, podría preguntarle qué es [matemática] -5 * 5 [/ matemática], y diría [matemática] -25 [/ matemática], pero una vez más, no podemos construir un cuadrado con área negativa .

– Lo mismo ocurre con los cubos algebraicos de un número , y los cubos geométricos, las formas . Puede ser útil pensar en lo siguiente:

[matemáticas] -3 ^ 3 = -27 [/ matemáticas]

Como esto en su lugar:

[matemáticas] [(- 1) * (3)] ^ 3 = -27 [/ matemáticas]

Que se convierte en:

[matemáticas] (- 1 * -1 * -1) * (3 * 3 * 3) = -27 [/ matemáticas]

Ahora, si solo tomamos el segundo grupo en el lado izquierdo de la ecuación, [matemáticas] (3 * 3 * 3) [/ matemáticas], vemos que es simplemente el viejo 27. Entonces no tenemos un cubo con volumen negativo o algo loco como eso. Luego, imagine los tres -1 como un tipo de interruptor de “encendido / apagado”, que alterna el signo del lado izquierdo de la ecuación entre positivo y negativo. Es por eso que para poderes impares (como [matemática] x ^ 3 [/ matemática]), puedes tener respuestas negativas, y para poderes pares (como [matemática] x ^ 2 [/ matemática]), solo puedes tener tenga respuestas positivas, pero trate de recordar la distinción número / objeto geométrico y piense que es solo una serie de [matemáticas] -1 [/ matemáticas], completamente separadas del número principal al cuadrado / al cubo, que son responsables para la respuesta positiva / negativa posible 🙂

Y por último, una última cosa a tener en cuenta, en caso de que todavía parezca desconcertante es que corta en ambos sentidos, por lo que los cubos realmente no son tan ‘especiales’ en este sentido frente a los cuadrados: sí, puedes sacar la raíz cúbica de número negativo, pero no puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo, pero, de manera similar, puede cuadrar un número negativo y obtener un número positivo, pero no puede sacar un número negativo en cubos y obtener un número positivo. Entonces, básicamente, solo la propiedad inversa es verdadera para cada uno frente al otro, pero ninguno tiene ningún significado geométrico real, al menos no que yo sepa 🙂

(oh, y todo lo anterior excluyendo, por supuesto, los números imaginarios / complejos)

¡Espero que ayude, aunque sea un poco!

Salud,
-RE

Answer 2

La mayoría de las personas piensan que cuadrar un número es obtener el área de un cuadrado y el cubo como obtener el volumen de un cubo, pero si vas a usar números negativos, esa imagen no tiene mucho sentido ya que no puedes tener un longitud del lado negativo Sin embargo, tengo una forma diferente de pensarlo.

Primero, en 2 dimensiones, suponga que está en el plano de coordenadas, que tiene 4 cuadrantes. El cuadrante en el que se encuentra depende de si xey son positivas o negativas. Pon un cuadrado de 1 × 1 en cada cuadrante. Colorea el cuadrado superior derecho de azul, y luego colorea los otros cuadrados diciendo que cualquier cuadrado al lado de un cuadrado azul debe ser rojo y viceversa. El resultado es que la parte superior derecha es azul, la parte superior izquierda y la parte inferior derecha son rojas, y la parte inferior izquierda es azul. El cuadrante superior derecho tiene x e y positivo, y el inferior izquierdo tiene x e y negativo, y ambos terminan del mismo color. Por otro lado, la parte superior izquierda e inferior derecha son rojas, donde una coordenada es positiva y la otra es negativa. Esta situación refleja [matemáticas] (- a) (- a) = (a) (a) [/ matemáticas] y [matemáticas] (- a) (a) = (a) (- a) [/ matemáticas].

Ahora considere 3 dimensiones, que cuando se coordina tiene 8 octantes. El octante en el que se encuentra depende de si x, y y z son positivos o negativos. Colocamos 8 cubos 1x1x1 como se muestra en la imagen vinculada, excepto que los colorearemos como antes. Es decir, el octante con x, y, z> 0 será azul, y luego tenemos la regla de que cualquier cubo adyacente a un cubo azul es rojo y viceversa. Entonces, ¿qué obtenemos?

Los cubos azules son donde x, y, z> 0; donde x> 0 pero y, z <0; donde y> 0, pero x, z> 0; y donde z> 0 pero x, y> 0. Esto refleja los escenarios.

[matemáticas] (a) (a) (a) = (a) (- a) (- a) = (-a) (a) (- a) = (-a) (- a) (a). [ /matemáticas]

Los cubos rojos son donde x, y> 0 pero z <0; donde x, z> 0 pero y <0; donde y, z> 0 pero x <0; y finalmente donde x, y, z <0. Esto refleja los escenarios.

[matemáticas] (a) (a) (- a) = (a) (- a) (a) = (-a) (a) (a) = (-a) (- a) (- a). [ /matemáticas]

¿Entonces cuál es el punto? Bien en 2 dimensiones, el cuadrado totalmente positivo y el cuadrado todo negativo tienen el mismo color, pero en 3 dimensiones el cubo todo positivo y el cubo todo negativo tienen colores opuestos. ¡Esto puede extenderse incluso a dimensiones superiores! En 4 dimensiones, el hipercubo todo positivo tendrá el mismo color que el hipercubo todo negativo al igual que [math] a ^ 4 = (- a) ^ 4 [/ math], que se aplica a todas las dimensiones / exponentes pares. En todas las dimensiones impares, el hipercubo totalmente positivo tendrá el color opuesto al hipercubo todo negativo al igual que [matemática] (- a) ^ 5 = – (a ^ 5) [/ matemática].