Comenzando con un Cubo de Rubik resuelto, ¿cuántas veces puedes realizar la secuencia Delantero izquierdo hacia arriba hasta que obtengas un Cubo de Rubik resuelto nuevamente?

Answer 1

[matemáticas] 84 [/ matemáticas]

La respuesta siempre será un número finito. Esto se debe a que cada operación en el cubo es invertible y los movimientos en el cubo forman un grupo.

Aquí está la prueba: dado que el cubo de Rubik solo puede estar en un número finito de estados, la repetición de la secuencia de movimiento [math] FLU [/ math] eventualmente debería llevarlo a un estado que se vio anteriormente. Suponga que el primer estado que ve dos veces es [matemática] S [/ matemática], que se obtuvo al realizar la secuencia de movimiento [matemática] FLU [/ matemática] [matemática] M [/ matemática] y [matemática] M + N [ / math] veces desde el estado resuelto. Entonces se puede demostrar que [matemática] M = 0 [/ matemática]. Esto se debe a que el estado que obtiene después de realizar la secuencia [matemática] U’L’F ‘[/ matemática] [matemática] M [/ matemática] veces desde [matemática] S [/ matemática] debe ser el mismo, independientemente de si alcanzó [matemática] S [/ matemática] después de [matemática] M [/ matemática] o [matemática] M + N [/ matemática] se mueve. El primero te lleva al cubo resuelto de Rubik, y el segundo también debería hacerlo.

Encontrar el número de movimientos necesarios para volver al estado original (equivalente a encontrar el orden de [math] FLU [/ math] en el grupo) se puede hacer observando cómo se mueve el cubo permutar las piezas de esquina y borde. Encontrar el orden de la permutación da la respuesta requerida, que es 84 en este caso.

PD : Utkarsh y yo establecimos esto como uno de los problemas para IOPC 2012 . Puede intentar codificar una solución aquí: SPOJ-IOPC1201 .

Answer 2

La respuesta es un número finito. Una visualización rápida me dice que la secuencia deja el cubo de esquina FLD en el mismo lugar, pero gira 120 grados, por lo que el número total de repeticiones necesarias debe ser divisible por 3.

Una visualización más complicada me dice que el cubo de esquina FLD necesita 6 repeticiones para volver a su posición inicial, torcido, por lo que puedo aumentarlo para que sea divisible por 18. Las seis repeticiones lo llevan a través de los 6 cubos de esquina afectados, así que todos 6 volverán a casa sin torcer después de 18 repeticiones.

El cubo de borde FL tarda 4 repeticiones para volver a casa, volteado, por lo que se necesitan 8 repeticiones para volver a casa sin voltear. Entonces estamos viendo mcm (8,18) = 72 como un factor para las repeticiones.

9 de los 12 bordes están afectados por el patrón, y he contabilizado 4 de ellos. (FL, RU, UB, UL). Los otros 5 caen en un ciclo de 5, también con un giro, por lo que el ciclo total debe ser divisible por 10. Eso nos da mcm (72,10) = 360 como factor para las repeticiones.

No hay otros cubos no contabilizados, por lo que 360 ​​es la cantidad de repeticiones necesarias para que la secuencia FLU regrese a un cubo resuelto.