Para hablar sobre la paridad de permutación de las piezas del rompecabezas, primero debemos establecer una orientación estándar para todo el rompecabezas. Para el estándar 3x3x3, esto se hace especificando un posicionamiento estándar de las 6 piezas del centro de la cara. No puedes hacer eso con el Cubo del Vacío.
Si, desde cualquier orientación inicial del Cubo del Vacío, le das a todo el rompecabezas un cuarto de vuelta alrededor de cualquier eje, entonces la permutación que has inducido consistirá en 2 4 ciclos de piezas de esquina (pares) y 3 4 ciclos de piezas de borde (impar). Esto es claramente un problema. Entonces, para hablar de manera significativa sobre la paridad, necesitamos una forma de definir la orientación de todo el rompecabezas.
Aquí hay una manera de establecer una orientación estándar: Elija una de las piezas de la esquina y, para cada una de las 3 calcomanías, especifique una dirección particular en la que debe encarar esa calcomanía. Ahora ya no podemos girar ninguna de las 3 capas que contienen esa esquina; pero aún podemos activar las 3 capas centrales y las otras 3 capas externas. Además de fijar la orientación, no se ha perdido ninguna generalidad con respecto a las configuraciones alcanzables.
Cuando se resuelve el rompecabezas, tenemos la permutación de identidad para todas las piezas, que tiene incluso paridad. Si le das un cuarto de vuelta a una capa externa, el resultado es un ciclo de 4 esquinas y un ciclo de 4 bordes, lo cual es extraño para cada uno, por lo que la paridad de permutación total no cambia. Si las paridades de permutación individuales para esquinas y aristas eran las mismas antes, las mismas permanecen igual; y, si son diferentes, también lo siguen siendo. OTOH, si le das a la capa central de un Cubo del Vacío un cuarto de vuelta, eso afecta solo a las piezas del borde y cambia su paridad de permutación sin afectar la de las esquinas. Por lo tanto, con el Cubo del Vacío, no hay garantía de que la paridad de permutación de las esquinas y los bordes permanezca igual. Es decir, surgirán problemas de paridad.
La razón por la que el problema no surge con el rompecabezas estándar es que, cuando gira una capa central, también está cambiando la orientación del rompecabezas. Cuando gira todo el rompecabezas para volverlo a colocar en la orientación estándar, también está deshaciendo la extraña permutación que había realizado en las piezas del borde. Las permutaciones restantes, 2 4 ciclos cada una de las esquinas y bordes, cambian la paridad de permutación de ninguno en las capas externas.
Si. con el rompecabezas estándar, no es necesario que su orientación sea fija, puede incluir los 3 tipos de piezas en el análisis de paridad. Verá que la paridad de permutación total para las 26 piezas debe permanecer pareja. Cuando se resuelven las esquinas o los bordes, su paridad de permutación debe ser la misma que la de las piezas del centro de la cara. Por lo tanto, su total (resuelto y caras) debe ser par, lo que significa que las piezas no resueltas también deben ser pares. Es decir, no hay problemas de paridad. Con el Cubo del vacío, cuando haya resuelto los bordes o las esquinas, no puede saber si la permutación de los centros de la cara es par o impar, por lo que no puede predecir si la paridad de las piezas no resueltas es la misma que la de las resueltas o no.