Se usarán dos identidades matemáticas binomiales para resolver el problema dado.
[matemáticas] \ displaystyle \ binom {n} {k} = \ binom {n} {n – k}, 0 \ leq k \ leq n [/ matemáticas] (1)
Y la identidad de Vandermonde:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ r \ binom {m} {k} \ binom {n} {r – k} = \ binom {m + n} {r} [/ math] (2 )
- ¿Cuántos cuerpos pueden ser enterrados en la tierra antes de que nos quedemos sin tierra?
- ¿Qué le falta a tu vida?
- ¿Por qué se pronuncia quién diferente de qué, por qué y dónde?
- ¿Cuál es el número máximo posible de bloques de unidades que se pueden separar de un cubo de rubik sin cambiar su área de superficie?
- ¿Cuáles son algunos acertijos que parecen fáciles de resolver pero que la mayoría de las personas se equivocan?
La suma en la pregunta se puede expresar como:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {49} \ binom {50} {k} \ binom {50} {k + 1} [/ matemática]
Reemplazando en (2) para [matemáticas] r = 49 [/ matemáticas] y [matemáticas] m = n = 50 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {49} \ binom {50} {k} \ binom {50} {49 – k} = \ binom {50 + 50} {49} = \ binom { 100} {49} [/ matemáticas]
Usando (1) tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ binom {50} {49 – k} = \ binom {50} {k + 1} [/ matemáticas]
Y
[matemáticas] \ displaystyle \ binom {100} {49} = \ binom {100} {51} [/ matemáticas]
Por lo tanto, la respuesta requerida es:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {49} \ binom {50} {k} \ binom {50} {k + 1} = \ binom {100} {51} [/ matemáticas]
cual es la respuesta B).
Y numéricamente:
[matemáticas] \ displaystyle \ binom {100} {51} = 98913082887808032681188722800 [/ matemáticas]