Si comienza con una posición aleatoria, sabemos que el número de vueltas para resolver el Cubo es de aproximadamente 18 en promedio, pero no más de 20. Lo importante a tener en cuenta es que después de cada turno, la distancia a resolver puede haber cambiado . La distancia a resolver es el número mínimo de vueltas a resolver (básicamente el algoritmo de Dios).
Entonces, después de cualquier giro, si la distancia es d, luego de un giro, es d + 1, do d-1, dependiendo de d y dependiendo del giro. Si d = 20, luego de un turno, d = 20 o d = 19.
Para cada turno, hay aproximadamente 5 × 3 = 15 turnos posibles (sin contar deshacer el último turno). Algunos de ellos no cambiarán la distancia a resolver, algunos lo harán. De hecho, no sé cómo se distribuye esto y no he encontrado ninguna investigación al respecto. Quizás alguien pueda dar una heurística.
Para un límite superior al número de giros, podemos decir que al menos un giro reducirá la distancia. Si suponemos que los otros giros aumentarán la distancia, obtendremos un límite superior al número de giros. Puedes ver que esta estimación es bastante aproximada.
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Ahora, deberíamos resolver el cubo si podemos encontrar una secuencia de giros que termine en la distancia d = 0 (resuelta). Ahora podemos ver que para pasar de d = 20 a d = 19, tenemos que encontrar el giro correcto (suponiendo que el último giro mantuvo la distancia igual a 20). Esta es una probabilidad de 1/15 para disminuir la distancia en 1. Para ir directamente a resuelto, deberíamos tener 20 éxitos. 15 ^ 20> 4.3 quintillones, pero básicamente, la probabilidad es 1 / 4.3 quintillones de tener éxito a la vez (encontrar el algoritmo de Dios). Si en cualquier fase no disminuimos nuestra distancia, la aumentaremos (según nuestra suposición). A partir de ahí, necesitaremos al menos el mismo número de éxitos. En otras palabras, nuestro camino total para resolver no se acortó. Entonces, la probabilidad de resolverlo de esta manera habrá disminuido. Entonces, la probabilidad de resolverlo no será más de 1 / 4.3 quintillones de nuestra posición inicial (si fue al azar), y si alguna vez volvemos a la posición ad = 20, entonces el proceso se restablece. El proceso no tiene memoria, y por muchos giros que hicimos, ahora tenemos que comenzar “de nuevo”, y tenemos otra probabilidad de 1 / 4.3 quintillones para resolver el Cubo de aquí en adelante. Por lo tanto, es justo decir que desde cualquier posición, y después de cualquier número de turnos, la probabilidad de resolver el Cubo Mágico es de aproximadamente 1 / 4.3 quintillones.
Esta es una explicación un poco más precisa de por qué es tan difícil resolver el Magic Cube usando turnos aleatorios.
