¿Qué tan grande es el tanque de aire / [matemáticas] CO_2 [/ matemáticas]?
La presión es la fuerza sobre el área:
[matemáticas] p = \ frac {f} {a} [/ matemáticas]
dónde:
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p = presión en pascales (Pa,)
f = fuerza en newtons (N,) y
a = área de superficie del contenedor en metros cuadrados ([matemática] m ^ 2 [/ matemática].)
Voy a suponer que estás disparando una bola de pintura promedio a una velocidad de boca promedio. La masa de nuestra bola de pintura promedio es de 3.0 gramos y tiene una velocidad de boca de 91.44 m / s (300 pies / s). También voy a suponer que está usando un gas inerte común para impulsar la bola de pintura.
Ahora necesitamos encontrar la fuerza necesaria para acelerar una bola de pintura desde un punto muerto hasta 91,44 m / s dentro del cañón de la pistola de pintura.
Según la segunda ley de Newton,
[matemáticas] f = m \ veces a [/ matemáticas]
dónde:
f = fuerza en newtons (N,)
m = masa en gramos (g,) y
a = aceleración en metros por segundo al cuadrado ([matemática] m / s ^ 2 [/ matemática])
Pero, todavía necesitamos saber la aceleración de la bola de pintura en el barril.
Podemos encontrar la aceleración dadas tres variables: velocidad inicial, velocidad final y cambio en el tiempo:
[matemáticas] a = \ frac {V_f-V_a} {\ Delta t} [/ matemáticas]
dónde:
a = aceleración (no debe confundirse con el área) en metros por segundo al cuadrado ([matemática] m / s ^ 2 [/ matemática],)
[matemática] V_f [/ matemática] = velocidad final en metros por segundo (m / s,)
[matemática] V_i [/ matemática] = velocidad inicial en metros por segundo (m / s,) y
[matemáticas] \ Delta t [/ matemáticas] = el cambio en el tiempo en segundos (s)
[math] \ Delta [/ math] es un símbolo matemático que significa “cambio”. En otras palabras, nos dice que restemos la variable final de la variable inicial ([math] X_f – X_i [/ math].) En casos en los que estamos contando el tiempo desde cero, podemos ignorar el delta ya que cualquier número menos cero es en sí mismo:
[matemáticas] X-0 = X [/ matemáticas]
Podemos aproximar fácilmente el tiempo con la ecuación:
[matemáticas] t = \ frac {d} {v} [/ matemáticas]
dónde:
t = tiempo en segundos (s,)
d = distancia en metros (m,) y
v = velocidad en metros por segundo (m / s)
La longitud del barril más popular, según ansgear.com, es de 14 pulgadas, o 0.3556m.
Entonces tenemos:
[matemáticas] t = \ frac {0.3556} {91.44} [/ matemáticas]
[matemáticas] t \ aproximadamente 0.0039s [/ matemáticas]
([matemática] \ aprox [/ matemática] representa aproximadamente. El decimal en este caso es un decimal sin terminación, lo que significa que continuará para siempre. Como tal, eventualmente tendré que redondear el número, sacrificando la precisión. Otro ejemplo de un decimal sin terminación sería [matemática] \ frac {1} {3} [/ matemática] [matemática] \ aproximadamente 0.333333333333333333333… [/ matemática], donde “…” indica el patrón, en este caso tres repetidos, continuará por siempre)
Tenga en cuenta que esto supone una aceleración instantánea de 0m / sa 91.44m / s. En otras palabras, [matemáticas] \ Delta t = 0 [/ matemáticas]. Esto le da una fracción indefinida, lo que significa que es una imposibilidad matemática. Por extensión, también es una imposibilidad física. No obstante, nos proporciona un número por tiempo. Hacerlo de otra manera implicaría cálculo, del cual tengo casi cero conocimiento (aún no he llegado allí).
Ahora tenemos toda la información que necesitamos para calcular el impulso requerido para acelerar una bola de pintura.
Primero, calculamos la aceleración:
[matemáticas] a = \ frac {(91.44-0)} {0.0039} [/ matemáticas]
[matemáticas] a \ aprox. 23,446.153 m / s ^ 2 [/ matemáticas]
(O, y esto es irrelevante para su pregunta, [matemática] \ aproximadamente 2,392.5g [/ matemática], donde una g es equivalente a una aceleración gravitacional multiplicada por una).
Ahora conectamos la aceleración y la masa en la segunda ley de Newton:
[matemática] f = 3 \ veces 23,446.153 [/ matemática]
[matemáticas] f \ aprox 70,335.459N [/ matemáticas]
Asumiré que usas este tanque:
Tanque de paintball Empire 48/4500 de aire comprimido – Gris
¿Por qué? Fue lo primero que vi cuando lo busqué en Google.
Entonces, para calcular la presión, necesitamos encontrar su área de superficie interior.
Tiene una longitud total de 9,5 pulgadas. Comparando su longitud total con la longitud que medí en mi pantalla, obtuve una longitud de 6.79 pulgadas excluyendo el conjunto de la válvula.
(Esto se puede hacer comparando la distancia medida en la pantalla con una distancia conocida, como la longitud indicada en el sitio web, y luego equiparándola con la dimensión que desea saber:
[matemáticas] \ frac {1.75} {9.5} = \ frac {1.25} {x} [/ matemáticas]
dónde:
1.75 = la longitud total medida en mi pantalla,
9.5 = la longitud total real,
1.25 = la longitud medida excluyendo el conjunto de la válvula, y
x = la longitud real excluyendo el conjunto de la válvula
Luego simplemente cruza multiplica y resuelve para x.)
Contiene [matemáticas] 48in ^ 3 [/ matemáticas] de aire comprimido. Sabemos que el volumen de un cilindro (y sí, sé que no es un cilindro perfecto) se puede calcular de la siguiente manera:
[matemáticas] V = \ pi (r ^ 2) h [/ matemáticas]
dónde:
V = volumen en pulgadas cúbicas ([matemática] en ^ 3 [/ matemática],)
r = radio en pulgadas (in,) y
h = altura en pulgadas (in)
Conocemos el volumen y la altura, por lo que podemos transponerlo a:
[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {V} {{\ pi} {h}}} [/ matemáticas]
Entonces,
[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {48} {\ pi 6.79}} [/ matemáticas]
[matemáticas] r \ aproximadamente 1.5in [/ matemáticas]
Fingiremos que el radio interior es de 1.5 pulgadas. En realidad, el radio exterior es de 1,5 pulgadas. El radio interior sería el radio exterior menos el grosor de la pared del cilindro.
Ahora que conocemos el radio y la altura, podemos calcular el área de superficie del cilindro:
[matemáticas] SA_c = 2 (\ pi r ^ 2) + 2 (\ pi rh) [/ matemáticas]
dónde:
[matemática] SA_c [/ matemática] = el área de superficie del cilindro en pulgadas cuadradas ([matemática] en ^ 2 [/ matemática],)
r = el radio en pulgadas (in,) y
h = la altura en pulgadas (in)
Entonces, obtenemos:
[matemáticas] SA_c = 2 (\ pi 1.5 ^ 2) + 2 (\ pi (1.5) \ veces (6.79)) [/ matemáticas]
[matemáticas] SA_c \ aproximadamente 78.13in ^ 2 [/ matemáticas]
Convirtiéndola en unidades SI, obtenemos aproximadamente [matemática] 0.05m ^ 2 [/ matemática].
Ahora sabemos la fuerza y el área de superficie.
Finalmente, podemos calcular la caída de presión por disparo.
[matemáticas] p = f \ veces a [/ matemáticas]
[matemática] p = 70,355.459 \ veces 0.05 [/ matemática]
[matemática] p \ aproximadamente 3,517.77Pa [/ matemática], o, para mis conciudadanos estadounidenses, [matemática] \ aproximadamente 0.51PSI [/ matemática] por disparo.
Sin embargo, esto supone una transferencia perfecta de energía cinética del aire comprimido a la bola de pintura. NADA en la naturaleza es perfecto; habrá energía desperdiciada. Esta energía desperdiciada toma la forma de aire comprimido que se expande a presión ambiente después de que la bola de pintura ha salido del barril.
Pero, hay una advertencia: a medida que disminuye la presión dentro del tanque, la caída de presión por disparo y la velocidad del hocico también disminuyen.
Como el área es constante y la presión disminuye, la única forma de hacer que la ecuación sea válida es soltar la fuerza que actúa sobre el tanque en consecuencia. A medida que cae la fuerza que está aplicando a la bola, también lo hace la velocidad del hocico. Eventualmente, llegarás al punto donde la bola de pintura simplemente se cae del barril. Esto tiene sentido ya que ahora tiene un volumen fijo con menos aire adentro.