Cómo demostrar que [matemáticas] n ^ 2-10n-20 = \ Theta ({n ^ 2}) [/ matemáticas]

Answer 1

Por definición, [matemática] n ^ 2-10n-20 = \ Theta (n ^ 2) [/ matemática] si y solo si existe [matemática] c_1> 0 [/ matemática], [matemática] c_2> 0 [/ matemática] y [matemática] n_0> 0 [/ matemática] tal que [matemática] 0 \ leq c_1n ^ 2 \ leq n ^ 2-10n-20 \ leq c_2n ^ 2 [/ matemática] para todos [matemática] n \ geq n_0 [/ math].

Como [math] n ^ 2-10n-20 \ leq n ^ 2 [/ math] para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math], tenemos [math] n ^ 2-10n-20 \ leq c_2n ^ 2 [/ math] por cada [math] c_2 \ in \ mathbb {N} [/ math]. En particular, [math] n ^ 2-10n-20 \ leq c_2n ^ 2 [/ math] if [math] c_2 = 1 [/ math].

Por lo tanto, es suficiente encontrar [matemática] c_1> 0 [/ matemática] y [matemática] n_0> 0 [/ matemática] tal que [matemática] c_1n ^ 2 \ leq n ^ 2-10n-20 [/ matemática] para todo [matemáticas] n \ geq n_0 [/ matemáticas]. Para encontrar tales [matemáticas] c_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] n_0 [/ matemáticas], puede argumentar de la siguiente manera,

Tenemos [matemáticas] c_1n ^ 2 \ leq n ^ 2-10n-20 [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] c_1 \ leq \ dfrac {n ^ 2-10n-20} {n ^ 2} = 1- \ dfrac {10} {n} – \ dfrac {20} {n} \ leq 1 [/ math].

Elija [matemáticas] c_1 = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]. Tenemos [matemáticas] n ^ 2-10n-20-c_1n ^ 2 = n ^ 2-10n-20- \ dfrac {n ^ 2} {2} = \ dfrac {n ^ 2-20n-40} {2} = \ dfrac {(n-10) ^ 2-140} {2} [/ math].

Además, tenga en cuenta que si [math] n \ geq 30 [/ math], tenemos [math] \ dfrac {(n-10) ^ 2-140} {2} \ geq 0 [/ math].

Por lo tanto, elija [matemática] c_1 = \ dfrac {1} {2} [/ matemática], [matemática] c_2 = 1 [/ matemática] y [matemática] n_0 = 30 [/ matemática].

Luego tenemos [math] 0 \ leq c_1n ^ 2 \ leq n ^ 2-10n-20 \ leq c_2n ^ 2 [/ math] para todos [math] n \ geq n_0 [/ math].

Por definición, esto implicaría que [matemáticas] n ^ 2-10n-20 = \ Theta (n ^ 2) [/ matemáticas].

[matemáticas] \ Box [/ matemáticas]

Answer 2

Tenía una pregunta muy similar a esta en una tarea en mi primer año de universidad, por lo que no le daré una respuesta exacta. Dicho esto, buscar “definición formal de notación theta” en Google debería darte todo lo que necesitas para resolverlo, ya sea para la escuela o no.

Answer 3

Lo que querría probar es que la desigualdad [matemática] n ^ 2-10n-20 \ geq cn ^ 2 [/ matemática] es válida para algunos [matemática] c [/ matemática].

Por lo tanto, elija una [matemática] c [/ matemática] suficientemente pequeña: digamos [matemática] c = 0.0001. [/ Matemática]

Luego alimente la ecuación cuadrática resultante [matemática] (1-c) n ^ 2-10n-20 [/ matemática] en Wolfram Alpha.

Para [math] c = 0.0001 [/ math], obtienes que esto se factoriza en

[matemáticas] 0.9999 (n-11.7092) (n + 1.70823) [/ matemáticas].

Como puede ver ahora, para [math] n \ geq 12 [/ math], esto es positivo; y, por lo tanto, su función es [matemáticas] o (n ^ 2) [/ matemáticas].