Hay seis estudiantes. Si el profesor está decidido a dar 2 A, 3 B y 1 C, ¿de cuántas maneras puede asignar calificaciones el profesor?

Answer 1

La respuesta es 60. Aquí hay dos formas de pensarlo.

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Primero, puede pensar en la cantidad de formas de asignar las calificaciones como la cantidad de permutaciones, o formas de ordenar, las letras en la palabra AABBBC. Eso es 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.

Pero eso es demasiado, porque muchas de estas permutaciones tienen el mismo aspecto. Si ponemos pequeños marcadores en las A, por ejemplo, nuestra lista de 720 permutaciones incluiría, por ejemplo,

A1 A2 BBBC

A2 A1 BBBC

como elementos separados Como no distinguimos entre las A, las dos permutaciones anteriores son en realidad la misma permutación que cuenta dos veces. Solo lo queremos una vez. Y esto es cierto sin importar dónde estén los A’s. Entonces necesitamos dividir 720 por 2, dando 360.

Pero esto sigue siendo demasiado, porque nuestra lista incluye, por ejemplo,

AA B1 B2 B3

AA B1 B3 B2

AA B2 B1 B3

AA B2 B3 B1

AA B3 B1 B2

AA B3 B2 B1

como elementos separados Dado que queremos considerar a los seis como la misma permutación, necesitamos dividir 360 entre 6, dando 60.

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En segundo lugar, puedes usar combinaciones. El profesor tiene 6 estudiantes para elegir para la C. Después de recibir la C, le quedan 5 estudiantes y 3 B para dar. Él puede hacer esto es 5C3 = 10 maneras. Y después de dar las B, solo le queda otra opción: dar las 2 A a los 2 estudiantes restantes. Multiplicando sus elecciones juntas, 6 * 10 * 1 = 60.

Answer 2

Aquí hay un método para resolverlo:

Primero decidimos asignar las A a dos estudiantes.

Hay 6 estudiantes disponibles al asignar la primera A. En la segunda A quedan 5 estudiantes.

En el paso anterior, asumimos un pedido: A1, luego se dio A2. Pero esto es arbitrario, como si el orden se invirtiera (o cualquier otro orden permutado, si hubiera más cosas), sabríamos que no tendría sentido; una A es una A.

Por lo tanto, dividimos por el número de posibles ordenaciones permutadas de dos cosas, 2! = 2 * 1.

Actualmente hay 6 * 5 / (2 * 1) = 15 posibilidades.

Debido a que es más interesante, ahora consideramos todos los ordenamientos posibles de 3 B’s. Asignamos 2 A, por lo que hay 4 opciones para el primer B, 3 para el segundo y 2 para el último. Reconocemos nuevamente que el orden exacto de B es irrelevante y, por lo tanto, se divide por el número de permutaciones posibles de 3 B, 3

Esto da (4 * 3 * 2) / (3 * 2 * 1) = 4 posibilidades.

Podemos repetir este método con C, pero como es la última categoría, podemos hacer trampa mentalmente y tener en cuenta que, dado que son todo lo que queda, ya elegimos quién obtiene C eligiendo a las personas que obtuvieron A y B, dejando en todos los casos Solo 1 posibilidad.

Por último, multiplicamos todas las posibilidades de eventos independientes individuales para obtener 15 * 4 * 1 = 60 posibilidades.

Answer 3

No debe usar permutatuon, nPr en este caso. En su lugar, debe usar la combinación, nCr. La diferencia es: para nPr, el orden es importante, por lo que el estudiante 1 que obtiene una A y el estudiante 2 que obtienen A se contarán como 2 permutaciones (son: el estudiante 1 obtiene una A y el estudiante 2 obtiene A y el estudiante 2 obtiene una A y el estudiante 1 obtiene A), mientras que solo cuenta como 1 combinación.

Okay. Entonces usemos nCr aquí.

Para el grado A, desafortunadamente, solo podemos elegir 2 de cada 6 estudiantes. Entonces, tenemos 6C2, que es 15.

Ahora para el grado B, aún podemos elegir 3 estudiantes de los 4 restantes. 4C3 es 4.

Y nos quedamos con un estudiante pobre que obtiene el grado C.

Y ahora debemos multiplicar los números y obtenemos: 15x4x1 = 60

Multiplicamos el número en lugar de sumarlos porque cualquier combinación de estudiantes de grado A puede ser con cualquier combinación de estudiantes de grado B.

También tenga en cuenta que si asigna primero el grado A o el grado B / C no afectará el resultado. Como cualquier orden de asignación, habría cubierto todas las combinaciones posibles.

Answer 4

Existe un enfoque matemático general para resolver problemas de esta forma: teorema multinomial

(El enlace apunta a una subsección específica del artículo de Wikipedia que explica la conexión con el tipo de problema que se solicita aquí).