¿Está el bateador fuera si un fildeador marca su bate mientras el bateador todavía está sosteniendo su bate y después de que el bateador golpea una bola justa o después de un tercer strike caído?

En realidad no. La regla 2 es bastante específica, la etiqueta debe estar en el corredor. El bate no forma parte del corredor. Aquí están las secciones apropiadas de la Regla 2 de las reglas oficiales.
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Una ETIQUETA es la acción de un fildeador al tocar una base con su cuerpo mientras sostiene la pelota de forma segura y firme en su mano o guante; o tocar a un corredor con la pelota, o con su mano o guante sosteniendo la pelota, mientras sostiene la pelota de manera segura y firme en su mano o guante. Sin embargo, no es una etiqueta, si simultáneamente o inmediatamente después de tocar una base o tocar un corredor, el fildeador deja caer la pelota. Al establecer la validez de la etiqueta, el fildeador deberá sostener la pelota el tiempo suficiente para demostrar que tiene el control completo de la pelota. Si el fildeador ha hecho una etiqueta y deja caer la pelota mientras realiza un lanzamiento después de la etiqueta, la etiqueta se considerará realizada.

No, el bateador debe dejar caer el bate después de golpear la pelota en territorio limpio, si el bateador es lo suficientemente tonto como para llevar su bate hasta la primera base, el bateador está fuera. Ahora, si un receptor toca su bate mientras se balancea, eso es una interferencia en el receptor y el equipo de campo es penalizado. Con respecto a un tercer strike caído, el bateador puede correr a la primera base de manera segura si el receptor no levanta la pelota y la etiqueta o lanza la pelota a la primera base antes de que el bateador llegue allí, entonces estará a salvo en la primera base. La mayoría de las veces el receptor lo etiqueta después de que dejó caer un tercer golpe o si el bateador está demasiado lejos para marcarlo, simplemente lo lanza a la primera base mucho antes de que el bateador pueda llegar allí, por supuesto, el bateador está fuera.

Solo si él (el fildeador) tiene la pelota y marca el bate con esa mano.
Sin embargo, no veo que esto suceda nunca (en el béisbol profesional), ya que significaría que el bateador sostuvo el bate mientras corría hacia el primero o que el receptor obtuvo el control de la pelota antes de que el bateador abandonara la caja y extendiera la mano y la etiquetara. mientras que los objetivos más fáciles estaban disponibles.

No, debe etiquetar al jugador.