Un hombre borracho se encuentra justo al borde del acantilado. Da pasos al azar, ya sea lejos o hacia el acantilado. En cualquier paso, su probabilidad es 2/3 por alejarse y 1/3 por avanzar hacia el acantilado. ¿Cuál es su oportunidad de escapar del acantilado?

Answer 1

Esta es una versión del problema de la ruina del jugador, y la respuesta se da en la ecuación (4) del enlace que proporcioné. En general, si tiene probabilidad [matemática] p [/ matemática] de alejarse y probabilidad [matemática] q = 1-p [/ matemática] de caminar hacia el acantilado en cada paso, y comienza su caminata [matemática] i [/ math] se aleja del acantilado, entonces su probabilidad de escapar del acantilado para siempre es [math] 1 – (q / p) ^ i [/ math], suponiendo que [math] p> q [/ math]. (La probabilidad es cero si [matemática] p \ le q [/ matemática].) Tenga en cuenta que esta probabilidad es cercana a 1 si [matemática] p [/ matemática] es mucho mayor que [matemática] q [/ matemática] o [ math] i [/ math] es muy grande, lo que tiene sentido intuitivamente.

Al conectar [math] p = 2/3 [/ math] y [math] q = 1/3 [/ math] y [math] i = 1 [/ math] como se especifica en la pregunta, obtenemos una probabilidad de escape de 1/2 o 50%.

Answer 2

Podemos descubrir sus posibilidades de escapar, usando el siguiente diagrama:

Digamos que [matemática] P_1 [/ matemática] es la probabilidad de que el hombre se caiga del acantilado desde la posición 1 (a un paso de la muerte).

Digamos que [math] P_2 [/ math] es la probabilidad desde la posición 2 (a 2 pasos).

Si [math] p [/ math] es la probabilidad de alejarse del acantilado ([math] \ frac {2} {3} [/ math] en nuestro caso), entonces la siguiente relación es verdadera:

[matemáticas] P_1 = (1 – p) + (p · P_2) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es la probabilidad de que el hombre caiga en el primer paso, más la probabilidad de caer en un paso posterior, que es [matemáticas] p [/ matemáticas] para alcanzar la posición 2 desde la posición 1, multiplicado entonces por [matemáticas] P_2 [/ matemáticas].

Desde la posición 2 podemos considerar todos los caminos que conducen al acantilado:

1. Desde la posición 2, tenemos que llegar a la posición 1 (en uno o varios pasos).
2. Desde la posición 1, tenemos que caernos del acantilado (en uno o varios pasos).

La probabilidad de los caminos desde la posición 2 a 1 es …

… es [matemática] P_1 [/ matemática], porque si observa el diagrama anterior, simplemente movimos el origen una posición a la derecha, pero toda la estructura permanece idéntica … comenzamos en la posición 2, pero ahora la “muerte” la posición es en 1.

La probabilidad de los caminos desde la posición 1 a 0 (caerse del acantilado) es … [matemática] P_1 [/ matemática] nuevamente, porque esta es la misma situación inicial original, como puede ver también en el diagrama anterior.

Entonces, [matemáticas] P_2 = P_1 ^ 2 [/ matemáticas].

Entonces, la relación que obtuvimos antes se puede escribir como:

[matemáticas] P_1 = (1 – p) + (p · P_1 ^ 2) [/ matemáticas]

Resolviendo la ecuación cuadrática, tenemos 2 posibles soluciones: 1 y [matemáticas] \ frac {(1 – p)} {p} [/ matemáticas].

Si [math] p \ leq \ frac {1} {2} [/ math] entonces [math] P_1 [/ math] debe ser 1, entonces el hombre borracho seguramente se caerá del acantilado.

Pero está claro que si p crece hacia 1, entonces [math] P_1 [/ math] va hacia cero.

Considere, por ejemplo, que por cada paso hacia el acantilado, el hombre se aleja 99 pasos del acantilado … luego claramente escapará muy a menudo, casi siempre.

Dicho esto, si [math] p \ leq \ frac {1} {2} [/ math], entonces el hombre se caerá del acantilado garantizado, pero si [math] p> \ frac {1} {2} [/ math] luego [math] \ frac {(1 – p)} {p} [/ math] se debe aplicar la fórmula.

En nuestro caso, [matemáticas] p = \ frac {2} {3} [/ matemáticas], entonces la probabilidad de que el hombre se caiga del precipicio es [matemáticas] \ frac {(1 – \ frac {2} {3 })} {\ frac {2} {3}} = 0.5 [/ matemáticas], y su probabilidad de escapar es 0.5 también.