¿Cuál es la suma de las siguientes series hasta el enésimo término: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, etc. .?

Answer 1

El patrón que has observado es correcto.

Podemos usar los siguientes resultados:

suma de n nos impares:

suma de n incluso nos:

Ahora podemos separar los números que están presentes tres veces y que están presentes dos veces.

Supongamos que n, que es el último término, es un número impar, entonces (n-1) es un número par.

Por lo tanto, resumir hasta n términos es:

[matemáticas] s = 4 (1 + 3 + 5 +… ..n) +3 (0 + 2 + 4 +… (n-1)) [/ matemáticas]

[matemáticas] s = 4n ^ 2 + 3 (n-1) (n) [/ matemáticas]

Si n es un número par, el (n-1) es un número impar

Entonces,

[matemáticas] s = 4 (1 + 3 + 5 +…. (n-1)) + 3 (0 + 2 + 4 +… n) [/ matemáticas]

[matemáticas] s = 4 (n-1) ^ 2 + 3 (n + 1) (n) [/ matemáticas]

Eso es todo, supongo.

🙂

Answer 2

Esta serie dada se puede separar en probabilidades y pares. Luego, usando una fórmula, se pueden agregar los términos. Al igual que aquí, SERIE DADA de números naturales a partir de 1:

Todos los números pares son 3 veces y los impares se escriben 4 veces …

es decir, 3 (2 + 4 + 6… .En) + 4 (1 + 3 + 5 + …… Encendido)

Aquí, ‘En’ es el último número par de la serie, y ‘On’ es el último número impar de la serie.

Si deseamos agregar hasta 12 …, habrá 12/2 = 6 términos pares, y (11 + 1) / 2 = 6 términos impares. Y luego, para encontrar la suma de estos términos, se puede aplicar la fórmula AP. Que es Sn = n / 2 (a + L), L es el último término.

=> 3 [12/4 (2 + 12)] + 4 [(11 + 1) / 4 (1 + 11)

= (3 * 3 * 14) + (4 * 3 * 12)

= 126 + 144

= 270

Entonces, la siguiente ● FORMULA ● se puede aplicar para la SUMA, ‘En’ es el último número par de la serie y ‘On’ es el último número impar de la serie.

● FORMULA DE SUMA ●●●●●●

= ● 3 [(En / 4) * (2+ En)] + 4 [(Encendido +1) / 4 * (1+ Encendido)] ●

Answer 3

Deje [math] n [/ math] ser el número de términos que se agregarán.

7 = 3 + 4
Tome [math] \ bbox [10px, border: 1px solid red,] {{n = 7a + b}} [/ math] donde 0 <= b <= 6
(dividiendo n entre 7, a es cociente yb es resto)

Luego tome la suma de [matemáticas] 7a [/ matemáticas] términos = 4 * (1) + 3 * (2) + 4 * (3) + 3 * (4) +…. + 4 * (2a-1) +3 * (2a)

Luego tome S1 = [matemáticas] 4 (1) +4 (3) +4 (5) +… .. + 4 (2a-1) = 4a ^ 2 [/ matemáticas]
Y S2 = [matemáticas] 3 (2) +3 (3) +3 (4) +3 (6) +…. + 3 (2a) = 3a (a + 1) [/ matemáticas]

Suma = S1 + S2 = [matemáticas] 4a ^ 2 + 3a (a + 1) = \ bbox [10px, borde: 1px verde sólido,] {{7a ^ 2 + 3a}} [/ matemáticas]

Pero espere “[math] b [/ math]” los términos se dejan para agregar …

1. Si [math] b = 0 [/ math], no es necesario agregar nada,
   Suma total = [matemáticas] 7a ^ 2 + 3a [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas]
   [math] \ bbox [10px, borde: 3px azul sólido,] {{\ dfrac {n (n + 3)} {7}}} [/ math]
2. Si [math] b \ le 4 [/ math] entonces [math] b * (2a + 1) [/ math] se agregará más,
   Suma total = [matemáticas] 7a ^ 2 + (3 + 2b) a + b = [/ matemáticas]
   [math] \ bbox [10px, borde: 3px azul sólido,] {{\ dfrac {n (n + 3) + (4-b) b} {7}}} [/ math]
3. Si [matemática] b> 4 [/ matemática] entonces [matemática] 4 * (2a + 1) + (b-4) * (2a + 2) [/ matemática] necesita agregarse más,
   Suma total = [matemáticas] 7a ^ 2 + (3 + 2b) a + (2b-4) = [/ matemáticas]
   [math] \ bbox [10px, borde: 3px azul sólido,] {{\ dfrac {n (n + 3) + (11-b) b} {7} – 4}} [/ math]

PS – [matemáticas] b = n (mod 7) [/ matemáticas]

Answer 4

La serie dada es 1,1,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,5,5,5,5,…

Suma de series (S) = 1 * 4 + 2 * 3 + 3 * 4 + 4 * 3 + 5 * 4 + 6 * 3 + 7 * 4 +…

S = 1 * 3 + 2 * 3 + 3 * 3 + 4 * 3 + 5 * 3 + ……… + (1 + 3 + 5 + 7 +….)

S = 3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7….) + (1 + 3 + 5 + 7 + ……)

S = {3n (n + 1) / 2} + {n (2 * 1 + (n-1) 2) / 2}

S = {3n (n + 1) / 2} + n ^ 2

Desde usted puede convertirlo a su forma requerida.

Por lo tanto, S = {3n (n + 1) / 2} + n ^ 2 es su respuesta.

Feliz aprendizaje.