Cómo encontrar el valor de [matemáticas] \ displaystyle \ sec ^ 2 \ dfrac {2 \ pi} {7} + \ sec ^ 2 \ dfrac {4 \ pi} {7} + \ sec ^ 2 \ dfrac {8 \ pi} {7} [/ matemáticas]

Answer 1

El número [math] e ^ {\ frac {2 \ pi i} {7}} [/ math] es una raíz de [math] x ^ 7 = 1 [/ math], y por lo tanto de [math] x ^ 6 + x ^ 5 + \ cdots + x + 1 = 0 [/ math], o equivalente de

[matemáticas] (x ^ 3 + x ^ {- 3}) + (x ^ 2 + x ^ {- 2}) + (x + x ^ {- 1}) + 1 = 0. \ tag {1} [ /matemáticas]

(Nos dividimos entre [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas].) Sea [matemáticas] w = \ frac {1} {2} (x + x ^ {- 1}) [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que [matemáticas] x ^ 3 + x ^ {- 3} = 8w ^ 3-6w [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2 + x ^ {- 2} = 4w ^ 2-2 [/ matemáticas] y [matemática] x + x ^ {- 1} = 2w. [/ matemática] Entonces nuestra ecuación puede reescribirse como

[matemáticas] 8w ^ 3 + 4w ^ 2-4w-1 = 0. \ tag {2} [/ matemáticas]

Como [math] e ^ {\ frac {2 \ pi i} {7}} [/ math] es una raíz de [math] (1) [/ math], se deduce que [math] \ cos (\ frac { 2 \ pi} {7}) = \ alpha [/ math] es una raíz de [math] (2) [/ math], de la relación entre el coseno y la función exponencial discutida aquí.

Del mismo modo, podemos demostrar que [math] \ cos (\ frac {4 \ pi} {7}) = \ beta [/ math] y [math] \ cos (\ frac {8 \ pi} {7}) = \ gamma [/ math] son ​​raíces de [math] (2) [/ math] también. Como [math] \ alpha, \ beta [/ math] y [math] \ gamma [/ math] son ​​raíces de [math] 8x ^ 3 + 4x ^ 2–4x-1 = 0 [/ math], ahora podemos usa la Fórmula de Vieta, de manera similar a aquí.

Aprovechamos el hecho de que la suma de su inverso es [matemática] -4 [/ matemática], así como el hecho de que la suma del inverso de sus subproductos es [matemática] -4 [/ matemática].

Por lo tanto, nos da que la respuesta a [matemáticas] 4 ^ 2 + 2 \ veces 4 [/ matemáticas], o [matemáticas] 24 [/ matemáticas].

Answer 2

Buena esa. Lo haré con números complejos. Deje que [math] x = \ exp (2 \ pi I / 7) [/ math] sea la séptima raíz primitiva de 1. Tenemos [math] x ^ 6 + x ^ 5 +… + 1 = 0 [/ math] . También tenemos [matemáticas] (x + 1) (x ^ 2 + 1) (x ^ 4 + 1) = 2 + x + x ^ 2 +… + x ^ 6 = 1. [/ Matemáticas]

Luego

[matemática] \ sec \ frac {2 \ pi} 7 = \ frac 2 {x + x ^ {- 1}} = \ frac {2x} {x ^ 2 + 1} = 2x (x + 1) (x ^ 4 + 1) = 2 (x ^ 6 + x ^ 5 + x ^ 2 + x) = – 2 (x ^ 3 + x ^ 4 + 1). [/matemáticas]

Su plaza es

[matemáticas] 4 (x ^ 6 + x + 1) +8 (1 + x ^ 3 + x ^ 4) = 12 + 8 (x ^ 3 + x ^ 4) +4 (x ^ 6 + x). [/matemáticas]

Cálculo similar (o acción de Galois) da

[matemáticas] 12 + 8 (x ^ 6 + x) +4 (x ^ 5 + x ^ 2) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] 12 + 8 (x ^ 5 + x ^ 2) +4 (x ^ 3 + x ^ 4) [/ matemáticas]

para los otros dos términos. Esto da

[matemáticas] 36 + 12 (x + x ^ 2 +… + x ^ 6) = 36–12 = 24. [/ matemáticas]

Podría decirse que es una exageración, por lo que debe haber más argumentos elementales. Sin embargo, esto es conceptualmente un enfoque importante. La acción de Galois en el campo apropiado permite concluir de antemano que la respuesta es un número racional. Uno puede ver este cálculo como un caso particular de un llamado mapa de rastreo desde la extensión de números racionales hasta racionales.