Una página ha sido arrancada de una revista. La suma de los números de página en las páginas restantes es 525. ¿Cuál es la suma de los números de página en la página arrancada?

Answer 1

Sea x el número (impar) de la página que se arranca.

Entonces 2x + 1 es la suma de los números de página en la página que se arranca.

Sea n el número total de páginas.

La fórmula para la suma de números en una serie de 1 ..n es [matemática] \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemática] [1]

Entonces

[matemáticas] \ frac {n (n + 1)} {2} – (2x + 1) = 525 [/ matemáticas]

→

[matemáticas] \ frac {n (n + 1)} {2} – 2x – 1 = 525 [/ matemáticas]

→

[matemáticas] \ frac {n (n + 1)} {2} -2x -526 = 0 [/ matemáticas]

Multiplicar por 2 y reorganizar los rendimientos

[matemáticas] 0 = n ^ {2} + n – 4x -1052 [/ matemáticas]

Ahora, la clave para resolver este problema es recordar que

[matemáticas] (n + a) (nb) = n ^ {2} + (ab) na * b [/ matemáticas]

En este caso, el coeficiente del término lineal (n) es 1. Para que esto suceda, ayb deben ser dos enteros cuya diferencia sea 1 y tal que

[matemática] -a * b = -4x -1052 [/ matemática] → [matemática] 4x = a * b – 1052 [/ matemática]

donde x es un entero positivo. El lugar obvio para comenzar a buscar enteros consecutivos que se multipliquen para formar un número determinado es la raíz cuadrada:

[math] \ sqrt {1052} = 32.43 [/ math] que nos dice que probemos a = 33 yb = 32.

Efectivamente, 32 * 33 = 1056, entonces

[matemáticas] 4x = 1056–1052 = 4 [/ matemáticas] → [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

Ahora, recuerde que estamos buscando la suma de los números en la página eliminada, que es [matemática] 2x + 1 = 3. [/ Matemática]

Editar: Técnicamente, debemos mostrar (en lugar de suponer) que la solución [matemática] x = 1 [/ matemática] es única, ya que [matemática] 4x = a * b – 1052 [/ matemática] tiene muchas soluciones para a, b , x todos los enteros donde a y b son consecutivos. Con un poco de esfuerzo adicional, no es difícil mostrar que para todos los demás [matemática] x [/ matemática] que el dado anteriormente, el número de página que se elimina es mayor que el número total de páginas en el libro, y por lo tanto Hemos encontrado la única solución del mundo real.

Notas al pie

[1] 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ – Wikipedia

Answer 2

Si bien estoy de acuerdo con Doug y Johannes, me gustaría adoptar un enfoque menos matemático para este problema.

Primero un par de observaciones:

1. En la “vida real”, las revistas se imprimen cuatro páginas a la vez. (Piénsalo..)

2. Para cada hoja, la suma de sus páginas debe ser impar. (1 + 2, 3 + 4, etc.)

3. Incluso si no estamos aquí en la “vida real”, esta revista DEBE construirse con un recuento de páginas que sea divisible por 4.

(De lo contrario, el recuento de páginas solo es divisible por 2 y el número total de hojas es impar. Dado que la suma de los números de página en cada hoja es impar y el número de hojas es impar, entonces la suma de todos los números de página debe También sea extraño.

PERO, si restamos 525 de un número impar, obtenemos un número par. Y, dado que la suma de los números de página en una hoja debe ser impar, eso es una contradicción.

Entonces, el número de páginas debe ser un múltiplo de 4.)

Si comenzamos a sumar números de página en grupos de cuatro, la primera vez que superamos 525 es cuando alcanzamos 32 páginas y el total es 528. En este punto, surge una solución obvia.

Pero, ¿es esa la única solución?

OK, si sumamos 36 números de página, obtenemos un poco de revelación. El total ahora es 666. (Revelación, ¿entiendes?)

Para llegar a 525 necesitaríamos restar 141 … pero no podemos. La suma de páginas más grande (páginas 35 y 36) ahora es solo de 71. Observando que está claro, no probado, solo claro, que nunca encontraremos otra solución que implique extraer una sola hoja.

Entonces, ¿qué pasa con la extracción de varias hojas? [Lo sé, la pregunta solo se refiere a una hoja … pero eso es aburrido .] OK, debe ser un número impar de hojas, ¿verdad?

Definitivamente es factible. En el ejemplo de 36 hojas (666), podría extraer las hojas 3 (páginas 5 + 6), 16 (páginas 31 + 32) y 17 (páginas 33 + 34).

5 + 6 + 31 + 32 + 33 + 34 = 141. Eso resuelve el problema.

Entonces, la siguiente pregunta es, ¿podemos extraer 2n + 1 hojas contiguas que resolverían el problema?

Demasiado matemático ahora 😉 No sé.

Answer 3

RESPUESTA: 529

Las últimas páginas restantes son la página 262 y la página 263. Estos números de página se imprimen uno al lado del otro, haciendo 525 como la suma.

Los siguientes números de página consecutivos serían 264 y 265 en la página arrancada. La suma sería 264 + 265 = 529.

Resolver:

n + (n + 1) = 525

2n + 1 = 525

2n = 525 – 1

n = 524/2

n = 262

n + 1 = 263

La suma de los números de página restantes es 262 + 263 = 525

Los números de página en la página arrancada (hoja) serían 264 + 265 = 529.

Answer 4

Supongamos que el documento tiene [matemáticas] n [/ matemáticas] páginas. La suma de los números de página es [math] \ dfrac {n (n + 1)} {2}. [/ Math] Suponga que la página eliminada tiene números [math] x [/ math] y [math] x [/ math ] [matemáticas] +1 [/ matemáticas] con [matemáticas] x [/ matemáticas] impar. La página eliminada tenía un total de [math] 2x + 1. [/ math] Por lo tanto,

[matemática] \ dfrac {n (n + 1)} {2} -2x + 1 = 525, [/ matemática] o en forma sin fricción [matemática] n ^ 2 + n-4x-1048 = 0. [/ matemática] Entonces [matemáticas] 16x + 4209 [/ matemáticas] debe ser un cuadrado perfecto. El único valor de x que hace el truco es 1. Entonces, la suma de las páginas eliminadas es 3.

Tenga en cuenta entonces que [matemáticas] n = 32. [/ Matemáticas]

Answer 5

Digamos que x es la suma de números en la página arrancada yk es el número de páginas. Ambos son enteros positivos y x <= k.

Dado que 525 es la suma de todos los números de página restantes, sumar x nos da la suma de todos los números de página, ya que ese es el que falta.

Entonces 525 + x = 1 + 2 + 3 + 4 .. + (k-1) + k.

Aplicando la fórmula de Gauß, obtenemos

525 + x = (k² + k) / 2 | * 2

1050 + 2x = k² + k

Ahora simplemente probamos valores para k, comenzando en 32:

32: 32 * 32 + 32 = 1056 -> x = 3 -> Una solución
33: 33 * 33 + 33 = 1122 -> x = 36 -> Sin solución

Cualquier k superior también hará que el valor obligatorio para x sea mayor que k, porque el valor obligatorio debe crecer cuadráticamente, mientras que el límite superior de x crece linealmente.

Entonces, la suma de los números de página en la página arrancada es 3, lo que significa que la página con los números de página 1 y 2 fue arrancada, también conocida como la primera página. Además, originalmente había 32 números de página, por lo que la revista tenía 16 páginas y ahora solo tiene 15.

Answer 6

Debido a que una página tiene un anverso y un reverso, faltarán dos números de página. La suma de las páginas de una revista completa puede ser

33 páginas con la suma de números de página = 528

Si falta la primera página, las páginas 1 y 2 se eliminan del recuento, esto deja un recuento de 525

La respuesta es 3