¿Cuáles son las funciones de [matemática] A = \ {1,2,3 \} [/ matemática] a [matemática] B = \ {1,2 \} [/ matemática] que están en [matemática] B [/ matemática ]?

Answer 1

Una definición equivalente de cualquier función [math] f: A \ rightarrow B [/ math] es especificando un conjunto de la forma [math] \ {(y_1, y_2, y_3) | y_i = f (i) \ en B, i = 1,2,3 \} [/ matemáticas]. Ex [matemática] {(1,1,1)} [/ matemática] es la función [matemática] f: A \ rightarrow B [/ matemática], con [matemática] f (x) = 1, \ forall x \ in A [/ matemáticas].

Con esta equivalencia, contar el número de funciones en es igual al número de todos estos conjuntos posibles: 2. ¿Por qué 2? Bueno, convéncete de que solo hay 2 funciones (muy especiales) que no son de entrada de A a B, a saber, [matemáticas] \ {(1,1,1) \} [/ matemáticas] y {[matemáticas] (2,2 , 2) \} [/ matemáticas].

El número de todos los conjuntos son 2 ^ 3 = 8 [matemática]. [/ Matemática] Por lo tanto, debemos enumerar [matemática] 8-2 = 6 [/ matemática] conjuntos. La forma de pensar en la lista es:

1. Primero, enumere todos los conjuntos con un 1 y dos 2. Incluir todas las permutaciones

2. Luego, enumere todos los conjuntos con un 2 y dos 1. Incluir todas las permutaciones

Respuesta: [matemáticas] \ {(1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2, 2,1) \} [/ matemáticas]

Answer 2

Hay exactamente [matemáticas] \; 2 ^ {3} \; = \; 8 \; \; [/ math] funciona desde [math] \; A \; \; [/ math] a [math] \; B \; \; [/ math] entre las cuales dos funciones son funciones constantes. Por lo tanto, el número de funciones en es [math] \; \; 8–2 \; = \; 6 \; \; [/matemáticas]

La solución del problema general de encontrar el número de todas las funciones en A de B (donde [math] \; \; | A | = n \;, \; | B | = m \; \; [/ math] )es dado por

[matemáticas] \; \; O (n, m) \; = \; \ begin {cases} \; \ displaystyle \ sum_ {j = 0} ^ {j = m} \; (- 1) ^ {j} \ cdot \ left (\ begin {matrix} m \\ mj \ end {matrix} \ right) \ cdot (mj) ^ {n} \; \; \; \; \ text {if} \; \; \; n \ ge m \; \\\; \; \; 0 \; \; \; \; \; \ text {if} \; \; \; n

Este resultado puede probarse utilizando el famoso método de conteo conocido como el Principio de inclusión y exclusión

Por ejemplo, si [matemáticas] \; \; | A | = 4 \; \; [/ math] y [math] \; \; | B | = 3 \; \ ;, [/ math] el número de funciones sobreyectivas de [math] \; A \; \; [/ matemáticas] a [matemáticas] \; SI\;\; i [/ math] s [math] \; \; \; \; 1 \ times 3 ^ {4} \; – \; 3 \ times 2 ^ {4} \; + \; 3 \ times 1 ^ {4 } \; = \; 81-48 + 3 \; = \; 36 \;. \; [/ Math]

Si [matemáticas] \; \; | A | = 3 \; \; [/ math] y [math] \; \; | B | = 4 \; \ ;, [/ math] el número de funciones sobreyectivas de [math] \; A \; \; [/ matemáticas] a [matemáticas] \; SI\;\; i [/ math] s [math] \; \; 0 \;. \; [/ math]