¿Por qué es correcta la representación en serie armónica de este rompecabezas de ‘hormiga en una banda elástica’?

Answer 1

En el primer minuto, el gusano viaja 1 centímetro y la banda elástica mide 1 metro de largo, por lo que viaja 1/100 de la banda elástica. En el segundo minuto, viaja 1 centímetro mientras que la banda de goma tiene 2 metros de largo, por lo que viaja 1/200 de la banda de goma. En el tercer minuto, viaja 1/300 de la banda de goma y así sucesivamente. Entonces, después de n minutos, el gusano viaja [matemático] \ frac {1} {100} + \ frac {1} {200} + \ cdots + \ frac {1} {n \ cdot 100} [/ matemático] del caucho banda, que puede escribirse en notación de suma como [matemática] \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k \ cdot 100} [/ matemática] o tirando de [matemática] \ frac {1} {100} [/ matemática], [matemática] \ frac {1} {100} \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {k} [/ matemática].

Como se señaló en el artículo, esto no es exactamente correcto porque la banda se estira continuamente. El artículo se equivoca un poco porque la proporción real es menor que este valor. En el primer minuto, el gusano mueve un poco menos de 0.7 / 100 de la banda de goma porque la banda se estira a dos metros al final del minuto. Para obtener un límite inferior, necesitaría sumar de [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] a [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas].

Para obtener la respuesta exacta, simplemente puede reemplazar la suma con una integral, [matemática] \ frac {1} {100} \ int_ {1} ^ {n + 1} \ frac {1} {t} dt = \ frac {\ ln (n + 1)} {100} [/ math]. Al establecer esto igual a 1, el gusano atravesará la banda elástica en exactamente [matemáticas] n = e ^ {100} -1 [/ matemáticas] minutos.