Este es un rompecabezas lógico clásico (y creo que usado en exceso). Cada uno típicamente involucra una cantidad de artículos similares y una balanza. Existen numerosas variaciones, donde cada versión difiere a lo largo de los ejes de:
- la cantidad de bolas
- si sabes de antemano si el bicho raro es más pesado versus más ligero
- si es “no” a lo anterior, si el objetivo es simplemente identificar el bicho raro (más fácil) o ambos identificar el bicho raro y decidir si es más pesado o más liviano (más difícil)
Aquí está la solución a la versión dada del rompecabezas (9 bolas, una es más pesada, necesita identificar el bicho raro), donde etiquetamos las bolas A, B, …, I:
1. Pese ABC versus DEF.
Escenario a : si estos (1) se equilibran, entonces sabemos que el bicho raro es uno de G, H, I.
2. Pese G versus H.
Escenario ai : si estos (2) se equilibran, el bicho raro es I.
Escenario a.ii : si estos (2) no se equilibran, el más pesado es el bicho raro.
Escenario b : si estos (1) no se equilibran, entonces el bicho raro está en el lado más pesado. Para simplificar, suponga que el lado ABC es más pesado, por lo que el bicho raro es uno de A, B, C.
2. Pesar A versus B.
Escenario bi : si estos (2) se equilibran, el bicho raro es C.
Escenario b.ii : si estos (2) no se equilibran, el más pesado es el bicho raro.
Tenga en cuenta que no importa qué, esta solución requiere dos pesajes .
Ahora veamos el problema más interesante, el caso general. En lugar de comenzar con el número de bolas y preguntar cuántas pesas se requieren para identificar el bicho raro, es más conveniente comenzar con el número de pesajes permitidos y preguntar el número máximo de bolas desde el que se puede identificar el bicho raro. A continuación, supongamos por simplicidad que sí sabemos de antemano si el bicho raro es más pesado o más liviano.
Para llegar a una solución general, busquemos información sobre la solución específica anterior. En particular, tenga en cuenta la importancia de los grupos de tres : dadas tres bolas y sabiendo que una de ellas es un bicho raro, solo se requiere un peso para identificar el bicho raro (vea el paso 2 en cada escenario anterior; pesar dos de los tres es suficiente para averiguar cuál es el bicho raro). Tenga en cuenta además que esta regla se cumple incluso en un nivel jerárquico: dados tres “grupos de tres bolas” (es decir, ABC, DEF, GHI arriba) y el conocimiento de que uno de ellos contiene un bicho raro, solo se requiere un peso para identificar qué grupo contiene el bicho raro (ver el paso 1 anterior; pesar dos de los tres grupos de tres es suficiente para limitar la ubicación del bicho raro a uno de los tres grupos). Dado este grupo de tres, se requiere un pesaje más para identificar el bicho raro, de modo que con nueve bolas para comenzar, se requieren dos pesajes, como se indicó anteriormente. Siguiendo este patrón, es fácil mostrar que si se nos permiten los pesos [matemáticos] n [/ matemáticos], entonces podemos encontrar el bicho raro entre las bolas [matemáticos] 3 ^ n [/ matemáticos].
¿Qué pasa si el número de bolas no es una potencia de tres? No hay problema; si hay bolas [matemáticas] B [/ matemáticas], divídalas en grupos de [matemáticas] \ lceil B / 3 \ rceil [/ matemáticas], de modo que haya tres grupos, con una de ellas una o dos bolas cortas. Se aplica la misma estrategia que antes: sopesar los dos grupos de tamaño completo uno contra el otro; si los dos grupos de tamaño completo no se equilibran, entonces acérquese al grupo más pesado y vuelva a dividirse en tres grupos; y si los dos grupos de tamaño completo se equilibran, entonces divida el grupo “corto” restante en tres, donde nuevamente un grupo terminará corto, y proceda. Resolver el problema para un grupo corto requiere como máximo el mismo número de pasos necesarios para resolver el grupo corto aumentado al siguiente múltiplo de tres, por lo que el número máximo de bolas que podemos resolver con pesadas [matemáticas] n [/ matemáticas] permanece [matemáticas] 3 ^ n [/ matemáticas].
La situación en la que no sabemos de antemano si el bicho raro es más pesado versus más ligero es más difícil. En este caso, ¿cuántas pesas se necesitan para identificar el bicho raro en un grupo de tres? Un pesaje ya no es suficiente. Supongamos que sabemos que el bicho raro es uno de A, B, C:
- Si pesamos A versus B y se equilibran, entonces sabemos que el bicho raro es C. Hasta ahora todo bien.
- Alternativamente, si pesamos A versus B y encontramos que no se equilibran, no sabemos cuál es el bicho raro porque no sabemos si se supone que el bicho raro es más pesado o más liviano. Luego tenemos que pesar A o B contra C. Como ejemplo concreto, supongamos que encontramos A
Por lo tanto, se requieren hasta dos pesajes para resolver un bicho raro de un grupo de tres. Intuitivamente, esto significa que, dadas las ponderaciones [matemáticas] n [/ matemáticas], solo deberíamos poder garantizar que podemos encontrar un bicho raro desconocido entre la mitad de las bolas que antes, o aproximadamente [matemáticas] 3 ^ n / 2 [/ matemáticas]. De hecho, con las ponderaciones [matemáticas] n [/ matemáticas] solo podemos encontrar y clasificar un bicho raro entre las bolas [matemáticas] (3 ^ n – 1) / 2 [/ matemáticas]. Para comprender el motivo del término [matemática] -1 [/ matemática] en el numerador, tenga en cuenta que, dado que cada pesaje tiene tres resultados posibles (izquierda pesada, derecha pesada, equilibrio), con [matemática] n [/ matemática] ponderaciones y no hay otras restricciones hay [matemática] 3 ^ n [/ matemática] posibles resultados. Pero tenga en cuenta que, dado que no sabemos si el bicho raro es más pesado o más liviano de antemano, no es absolutamente posible identificar el bicho raro si todas nuestras pesas [matemáticas] n [/ matemáticas] se equilibran: simplemente no recibimos suficiente información para trabaje con (tenga en cuenta que este no era el caso cuando sabíamos que el bicho raro era más pesado; en la solución anterior, hay un camino a través del árbol de escenarios donde cada balanza pesa y aún podemos identificar el bicho raro). Como resultado, si vamos a poder identificar el bicho raro con un sesgo desconocido, tenemos que poder hacerlo solo con información [matemática] 3 ^ n – 1 [/ matemática].
Finalmente, ¿qué pasa si no sabemos de antemano si el bicho raro es más pesado versus más ligero Y también tenemos que clasificar su sesgo como uno u otro? Esta es la variación más difícil del problema, pero el razonamiento es similar. Todo el razonamiento anterior se lleva a cabo, pero ahora tres de los posibles resultados de [matemática] 3 ^ n [/ matemática] de las ponderaciones de [matemática] n [/ matemática] no proporcionan información: cuando todas las ponderaciones se equilibran (como antes), pero también cuando todas las pesadas son pesadas o todas las pesadas son pesadas. Estos dos últimos resultados ya no proporcionan la cantidad de información requerida, ya que si bien permitirían la identificación del bicho raro, no nos permitirían clasificar si el bicho raro era más pesado o más liviano. Por lo tanto, en este caso, dado que [math] n [/ math] pesa el número máximo de bolas entre las cuales podemos identificar y clasificar un bicho raro es [math] (3 ^ n – 3) / 2 [/ math].