Un hombre tenía nueve hijos, todos nacidos a intervalos regulares, y la suma de los cuadrados de su edad era igual al cuadrado propio. ¿Cuál era la edad de cada uno?

Answer 1

Que las edades de los nueve niños sean [matemáticas] (a-4d), (a-3d) \ ldots (a + 3d), (a + 4d) [/ matemáticas] y la del padre sea [matemáticas] m [ /matemáticas]

De tal manera que [matemática] a> 4d [/ matemática] y [matemática] m> a + 4d [/ matemática] para [matemática] a, d, m \ in \ mathbb N [/ matemática]

Según la condición [matemática] (a-4d) ^ 2 + (a-3d) ^ 2 + \ ldots (a + 4d) ^ 2 = m ^ 2 [/ matemática]

Al expandir el LHS y agrupar los términos obtenemos [matemáticas] 3 (3a ^ 2 + 20d ^ 2) = m ^ 2 [/ matemáticas]

Como el lado izquierdo es un cuadrado perfecto, debe ser un múltiplo de 9. es decir, [math] d [/ math] debe ser un múltiplo de 3. Sea [math] d = 3k, k \ in \ mathbb N [ /matemáticas]

[matemáticas] 9 (a ^ 2 + 60k ^ 2) = m ^ 2 [/ matemáticas]

Para el conjunto de edades más pequeño posible [matemática] k = 1 [/ matemática], probando valores de [matemática] a> 12k [/ matemática] obtenemos [matemática] a = 14 [/ matemática] para que el LHS se convierta en un perfecto cuadrado.

Por lo tanto, las edades de los hijos y el padre son [matemáticas] 2,5,8,11,14,17,20, 23,26 [/ matemáticas] y [matemáticas] 48 [/ matemáticas] respectivamente.

¡Gracias a todos los que señalaron mis errores!

Answer 2

De hecho, hay 2 secuencias que son “humanamente posibles”.

Los niños tienen 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 y su padre tiene 48 años.

o

Los niños tienen 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52 y su padre tiene 96 años.

esto es lógico porque si

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ 9 a_i ^ 2 = n ^ 2 [/ matemáticas]

(con [math] a_i [/ ​​math] la edad de cada uno de los niños), luego

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ 9 (2 a_i) ^ 2 = 4 \ sum_ {i = 1} ^ 9 a_i ^ 2 = 4 n ^ 2 = (2n) ^ 2 [/ matemáticas]

Para resolver el problema mediante el método de “fuerza bruta”, puede usar Mathematica:

hijos = Tabla [n – j * i, {i, -4, 4}]
niños2 = niños ^ 2

Total [niños2] // Expandir

[matemáticas] 60 j ^ 2 + 9 n ^ 2 [/ matemáticas]

M = Tabla [{j, n, Sqrt [60 j ^ 2 + 9 n ^ 2]},
{j, 1, 15}, {n, 4 j, 35}];
M = aplanar [M, 1];
Seleccione [M, IntegerQ [# [[3]]] &]

{{3, 14, 48}, {6, 28, 96}}

Answer 3

Una posible solución es {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26} cuyos cuadrados suman 2304. La raíz cuadrada de 2304 es 48. El padre tenía 22 años cuando nació el hijo mayor.

Otro es {4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52} y papá tiene 96. ¡Muy bien, papá!

Más allá de eso parecería ampliar los límites de la credibilidad biológica (aunque no, por supuesto, la credibilidad matemática)

Las suposiciones que hice aquí fueron que todas las edades y el intervalo son números enteros de años. Por lo tanto, no investigué los intervalos de, digamos, 1 año y 2 meses y tomé algún tipo de decisión sobre el redondeo de las edades (por ejemplo, “edad de cumpleaños” versus el número entero de años más cercano frente al número decimal de años).

Answer 4

Suponiendo que entiendo la pregunta correctamente, sus edades son:

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

Los cuadrados de sus edades son:

4, 25, 64, 121, 196, 289, 400, 529, 676

y la suma de estos números es:

2304, cuya raíz cuadrada es 48.

Todos estos números son razonables, por lo que concluiré, aunque no rigurosamente, que estos son los números correctos.

Resolví esto usando el siguiente programa, en su mayor parte:

def try_them_all ():
a = 1

tratar:
mientras que a <20:
g (x) = sum ([(a + i * x) ^ 2 para i en xrange (9)])

posible = filtro (lambda j: j [1] en Rationals (), [(i, sqrt (g (i))) para i en xrange (1, 10)])

imprimir (a, posible)

si len (posible)> 0:
volver (a, posible)

a + = 1
excepto:
regreso

Answer 5

Todas estas respuestas son válidas cuando SE ASUME que a, d, m son números naturales, pero la pregunta nunca descartó edades e intervalos fraccionarios.

Todos sabemos que existen trillizos pitagóricos fraccionales, pero solo por simplicidad, los ignoramos, lo mismo aquí. Básicamente, hay más de estos dos conjuntos de respuestas posibles para esta pregunta.

Answer 6

No hay suficiente información para hacer esta pregunta, así que proporcionaré la mía y encontraré las edades al año más cercano.

Los niños son nonuplets, milagrosamente nacidos el mismo día. Deje que la edad de cada uno sea [matemática] n [/ matemática], y la edad del padre sea [matemática] F [/ matemática]. Entonces [matemáticas] 9n ^ 2 = F ^ 2 [/ matemáticas].

Sigamos siendo realistas y supongamos que el padre los tuvo (con la ayuda de la madre) hace 2 años. Entonces, [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] F = 36 [/ matemáticas].

Answer 7

La edad del hombre es 48

Las edades de los 9 niños son 2,5,8,11,14,17,20,23,26.

Answer 8

¿Qué tal esto?
Un excepcionalmente promiscuo de 16 años de edad, impregna a 9 mujeres diferentes que dan a luz secuencialmente con una diferencia de 1 nanosegundo. Cuando el hombre tiene 24 años, él y sus nueve hijos de 8 años cumplen con este criterio …

Answer 9

Estas respuestas son correctas, pero ignoran la solución obvia. Por algún milagro, el hombre tiene nonuplets y ahora es 3 veces más viejo que sus hijos.