Cómo demostrar matemáticamente que si quitas las pegatinas del cubo de Rubik y las vuelves a colocar en el lugar equivocado, es imposible de resolver

Answer 1

Si tuviera que tomar una pieza de borde, que como dos pegatinas, y cambiarlas, no sería capaz de resolverlo. Esto se puede probar matemáticamente considerando todas las posibles transformaciones del cubo. para un cubo de 3 × 3, hay 12 transformaciones, todas las cuales son rotaciones (una rotación es aproximadamente una de las etiquetas centrales, que puede suponer que nunca se mueve, y hay seis de ellas, multiplicadas por 2 para rotaciones en sentido horario y antihorario) .

Usando la teoría de grupos, se puede demostrar que hay un grupo de estados de cubo que no contienen todos los arreglos de adhesivos posibles (ignorando aquellos con los adhesivos centrales movidos) pero que contienen exactamente la mitad de todos los arreglos de adhesivos posibles.

Una explicación más simple, pero que no es matemáticamente rigurosa, es considerar que en cada rotación permutas 20 etiquetas en total. Más específicamente, esos 20 adhesivos (12 en el costado, 8 en la parte superior) forman cinco grupos más pequeños de cuatro adhesivos y cada rotación alterna cuatro adhesivos dentro de sus grupos más pequeños. Por ejemplo, la pegatina de borde que se encuentra en la parte superior de la cara que se está girando se mueve a una nueva ubicación de borde y los otros tres hacen lo mismo. Si todos los movimientos mueven un número par de calcomanías, entonces cualquier conjunto de transformaciones que sume un número impar de movimientos de calcomanía debe requerir una transformación distinta de las 12 transformaciones permitidas, es decir, una transformación de eliminación de calcomanía.

Dado que ninguna de las 12 transformaciones legales cambia las etiquetas centrales, si sus colores cambian, eso debe ser el resultado de una transformación de eliminación de la etiqueta.

Answer 2

Es más fácil demostrar que el cubo tiene solución y cada uno de los siguientes pasos es un requisito para ello. Si falla cualquiera de las pruebas, entonces no es solucionable.

Paso 1: Verifique que los 6 cubos centrales (los no extraíbles) sean de diferentes colores. (Si dos son iguales, el cubo no se puede resolver por la razón obvia de que cualquier color que no esté en un centro no tiene a dónde ir).

Paso 2: Verifique que todos los cubelets (8 esquinas y 12 bordes) tengan una ubicación única a la que ir según los colores del centro. (Los centros no se mueven realmente y definen el conjunto completo de cubelets que deben usarse con él).

Paso 3: Si de hecho has pasado los pasos 1 y 2 anteriores, tienes una probabilidad de 1 a 12 de poder resolver el cubo. Tienes una probabilidad de 1 en 3 de que las esquinas se roten correctamente. Tiene una probabilidad de 1 en 2 de que los bordes se inviertan correctamente y tiene una probabilidad de 1 en 2 de que no tenga un solo intercambio de 2 cubos. (3x2x2 = los 12 mencionados anteriormente en la posibilidad 1 de 12). Entonces…

Paso 3A: Verifique la rotación de la esquina. (La forma más fácil de hacer esto es contar qué rotaciones (1/3 a la vez) necesitará para que las esquinas se alineen con el color superior o inferior. – Lo que esto significa es que el color superior o inferior debe estar mirando hacia arriba o hacia abajo, respectivamente, en cada una de las 8 esquinas (y cuenta para usted mismo … cuántos giros de 1/3 necesita hacer para que eso suceda).

Paso 3B: haces algo similar con los bordes (y eliges una parte superior e inferior y luego otros dos lados opuestos para ayudarte a hacerlo). Ahora, arriba y abajo tienen prioridad sobre los lados … y lo que haces … es contar cuántos están alineados con esta regla. Si se trata de los bordes de color superior e inferior … están alineados si se alinean con la parte superior e inferior (en la parte superior e inferior) y si están en el corte central y tocan los colores opuestos que está utilizando: entonces también están alineados. Para los 4 cubos de borde restantes … usa los dos colores que son iguales a los dos que eligió anteriormente, y usa la misma regla). Si el número de alineaciones (de un total de 12) es par, entonces está alineado al revés.

Paso 3C: cuenta todos tus ciclos. Olvídate de tus ciclos impares. Si tiene un número par de ciclos pares … entonces su cubo es solucionable.

Estoy seguro de que puede encontrar una mejor descripción, ya sea en la web o en el artículo de Hofstader Metamagical Themas.

Ahora, por qué todo esto tiene que ver con la teoría de grupos y también con la noción matemática básica de paridad. (Los artículos de Hofstader explican eso mucho mejor de lo que puedo).

Espero que sea lo que estabas buscando.

Answer 3

Puedo demostrarlo con un argumento geométrico muy simple.

Mueve las pegatinas y haz que cada centro sea cuadrado azul. Debido a que los cuadrados centrales siempre forman ángulos de 90º entre sí en todas las configuraciones, no habrá forma de obtener todos los cuadrados azules en un solo lado. El cubo será insoluble.

Editar:
Como Hugh Marera ha tenido la amabilidad de señalar, esta solución solo se aplica a nxn cubos donde n es impar. Si n es par, esta solución no es aplicable.

Edición 2:
Dean Carpenter también ha señalado que podemos aplicar una solución similar para todos los casos coloreando una pieza de esquina de un solo color. Esto tiene sentido ya que los lados de una pieza de esquina siempre se enfrentan a direcciones diferentes.

Answer 4

Un método: asigne números a cada bloque de la siguiente manera:

Capa 1
Mano superior norte
22, 12,18,87
88,17,9,25
10,24,89,16
19,86,23,11

Capa 2
Mano inferior sur
87,18,12,22
25,9,17,88
16,89,24,10
11,23,86,19

Capa 3
Mano superior sur
11, 23, 86,19
16,89,24,10
25,9,17,88
87,18,12,22

Capa 4
Mano inferior norte
19,86,23,11
10,24,89,16
88,17,9,25
22,12,18,87

Cuando se agrega verticalmente:
Capa 1. 22,12,18,87
Capa 2. 87,18,12,22
Capa 3. 11,23,86,19
Capa 4. 19,86,23,11

Si este arreglo no puede reconfigurarse exactamente de la misma manera, entonces hay “nudos” en las capas. Cuando hay nudos, el cubo no tiene solución.

Esto juega con Ramanajan, en mi teoría de Matrix Math, que muestra que cuando no hay nudos, la cadena de entrada de números puede sumarse al mismo número. Cuando hay nudos, no pueden.

Piense en ello como una sección transversal de madera. Sin nudos, un corte o corte perfecto que no muestra problemas de suma horizontal o vertical. Usando la dirección de la mano y el enfoque de volteo anterior, puede ser 3-D usando diferentes conjuntos de números. Es básicamente un Sudoku 3-D.