Bueno, si pensamos en un cubo como una figura sólida o incluso como un marco de alambre, tenemos, efectivamente, un número incontable de puntos a considerar. No lleva mucho tiempo darse cuenta de que esta versión del problema produce un conjunto de triángulos que también son incontables.
Entonces, . . . Asumamos que esta no es la pregunta correcta (o la respuesta correcta).
Otra forma de pensar en el cubo es como el conjunto de ocho puntos que marcan los vértices. Básicamente, ocho es un número pequeño. Entonces, tal vez la forma correcta de hacerlo es enumerar tediosamente todas las posibilidades, verificar cada una para ver si está incrustada en un lado y contar las que no lo están.
Sin embargo, eso parece aburrido.
- Rompecabezas lógicos: ¿Cuántas pelotas de golf pueden caber en un autobús?
- Si las personas en una habitación tuvieran una posición aleatoria de cubo de Rubik, ¿cuántas personas necesitaríamos para que haya un 50% de posibilidades de al menos dos cubos idénticos?
- ¿Cuál es el mejor rompecabezas matemático de la historia?
- ¿Cuáles son algunos acertijos clásicos que se han hecho?
- ¿Por qué mi Cubo de Rubik 4x4x4 sigue entrando en posiciones ilegales?
Así que hagamos trampa.
¿Cuántos subconjuntos de esos ocho puntos?
- Tener exactamente tres miembros.
- ¿No te acuestas en el mismo plano que uno de los seis lados del cubo?
Como ocho es pequeño, podemos calcular muchas cosas a mano sin demasiada tensión.
Por ejemplo, afirmo que hay 56 subconjuntos totales que cumplen con la primera condición, si asumimos que el orden no importa. Es decir, ignoramos el hecho de que estos son puntos, tienen propiedades geométricas, etc. Simplemente preguntamos: ” ¿De cuántas maneras elijo un conjunto de tres cosas de ocho cosas, sin repetición ?” Hay una fórmula para eso. Obtuve 56 cuando apliqué la fórmula.
(Si no está familiarizado con la fórmula, debe resolver un subproblema).
Ahora, ¿ahora muchos de estos 56 triángulos cumplen con la segunda condición?
Bueno, mirando ejemplos que cumplen con esta condición, descubrí que estos son feos.
¿Cómo son los triángulos que NO cumplen con la segunda condición?
Bueno, estos son más bonitos. Cada uno miente en uno de los seis lados. De hecho, hay exactamente cuatro para cada lado. ¿Por qué cuatro? Hay cuatro puntos en un lado. Notamos que elegir tres puntos de los cuatro disponibles es más o menos lo mismo que decidir cuál de los cuatro vamos a omitir.
Hay seis lados y cuatro por lado, entonces. . .
Entonces, 24 de los 56 NO cumplen con la segunda condición.
Parece probable que aproximadamente 32 de 56 cumplan con la segunda condición.
Pero, espera, ¿qué pasa si importa el orden?
Bueno, hay seis formas de “ordenar” cada uno de los 32, así que eso es aproximadamente 192.
Hmm 32 o 192 parecen buenas conjeturas en este momento. (Si verifica la lógica usted mismo, estos números podrían convertirse en algo más que conjeturas. Si no ha verificado la lógica usted mismo, eso es todo lo que serán).
¿Qué queda por hacer?
- Confirme que el problema se entendió correctamente.
- Pregunte si el orden importa o no. (¿El triángulo ABC es lo mismo que el triángulo BCA?) Por cierto, si no hay una respuesta clara a eso, probablemente deba hacerlo en ambos sentidos.
- Vuelva a verificar todo aquí. Limpia la lógica y la presentación. Tal vez haga un dibujo o dos. Escríbelo para que tu abuela pueda entenderlo.
- Busque un problema relacionado y más general para resolver. Por ejemplo, dado un hipercubo incrustado en d dimensiones, ¿cuántos triángulos se pueden formar a partir de los vértices 2 ^ d implícitos que coinciden o no con una “cara” de menor dimensión f? (Siguen muchas cosas geniales cuando comienzas a jugar con f.)
Afirmación: una buena solución siempre debe conducir a otros buenos problemas.