¿Cuántos pasos promedio tomaría para comer todos los cacahuates tostados?

Answer 1

Este es un ejemplo del problema del colector de cupones. Puede consultar mi respuesta a una pregunta similar aquí. Si tengo una aplicación que muestra una imagen aleatoria de 10, ¿con qué frecuencia debo iniciar la aplicación, en promedio, para ver las 10 imágenes?

Para [matemáticas] n [/ matemáticas], la respuesta es
[matemáticas] n. H_n [/ math] donde [math] H_n [/ math] denota [math] \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ dfrac {1} {i} [/ math]
Entonces, para [math] 100 [/ math] maní, obtenemos [math] 518.73 [/ math]

Requisitos previos para comprender la siguiente prueba

1) Indicador de variables aleatorias
2) Linealidad de expectativa
3) distribución geométrica

Si desea avanzar desde lo básico, considere la siguiente prueba de la fórmula dada anteriormente. Deje que [math] X_i [/ ​​math] sea la variable aleatoria que cuenta el número de cupones que tenemos que elegir antes de ver un documento previamente desconocido donde [math] i [/ math] denota el número de cupones vistos hasta ahora.

Intuitivamente, [math] X_0 = 1 [/ math] porque como todavía no hemos visto ningún cupón, definitivamente veremos un cupón único la primera vez que recojamos un cupón. Ahora, observe que todas las demás variables aleatorias [matemáticas] X_ i [/ matemáticas] para [matemáticas] 1 \ leq i \ leq n [/ matemáticas] son ​​variables aleatorias geométricas con probabilidad de éxito [matemáticas] p = \ dfrac {n – i} {n} [/ math] porque seguimos recogiendo cupones hasta que vemos uno único. Para cada una de estas pruebas, la probabilidad de ver un cupón único es, como se discutió anteriormente, [matemática] p = \ dfrac {n – i} {n} [/ matemática]. El valor esperado de una variable aleatoria geométrica es [matemática] E [X_i] = \ dfrac {1} {p} = \ dfrac {n} {n – i} [/ matemática]

Necesitamos sumar estos valores para todos [math] 0 \ leq i \ leq (n – 1) [/ math]

Por lo tanto, obtenemos [matemáticas] \ suma \ límites_ {i = 0} ^ {n – 1} \ dfrac {n} {n – i} [/ matemáticas]

Como [math] n [/ math] es una constante, podemos llevarlo fuera de la suma [math] n \ cdot \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {n – 1} \ dfrac {1} {n – i } [/matemáticas]

Ahora, la suma es equivalente a [math] \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {i} [/ math] y, por lo tanto, tenemos la respuesta final igual a [math] n \ cdot \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {i} [/ math]