Supongamos que escribe todos los enteros entre 1 y 1000 inclusive. ¿Qué dígito ocurre con menos frecuencia y por qué?

Answer 1

La parte POR QUÉ es la más atractiva e importante para abordar una GENERALIZACIÓN .

Paso 0: ¿POR QUÉ?

Dado que no se realizó ninguna solicitud explícita, en cuanto a qué Radix (sistema de numeración) debería usarse, experimentemos primero con un sistema de base 10 de sentido común.

>>> aFD = {‘0’: 0, ‘1’: 0, # aFrequencyDICTIONARY
‘2’: 0, ‘3’: 0,
‘4’: 0, ‘5’: 0,
‘6’: 0, ‘7’: 0,
‘8’: 0, ‘9’: 0,
}
>>> para anINT en xrange (1, 1001): # the RANGE
… para aNUM en str (anINT): # a DIGITs
… AFD [aNUM] + = 1 # COUNT cada
…
>>> aKeyLIST = aFD.keys (); aKeyLIST.sort () # prepare
>>> para aKEY en aKeyLIST: imprima aKEY, aFD [aKEY] # pretty TAB
0 192
1 301
2 300
3 300
4 300
5 300
6 300
7 300
8 300
9 300

La asimetría observada para un dígito 0 resulta de nuestro hábito humano, no para registrar los llamados “ceros a la izquierda” al escribir números de la manera en que estamos acostumbrados.

Pero este no fue siempre el caso.

Y esta no es la única respuesta válida y correcta posible .

Permítanme proponer otras dos respuestas a continuación.

Un dígito M también es una respuesta adecuada (siendo el primero de un par prometido).

Usando los dígitos romanos {M, D, C, L, X, V, I} y el formato sustractivo romano para la enumeración de todos los enteros del rango dado ,

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, … M

a la derecha, el mismo dígito M será el menos utilizado.

>> aFD = {‘M’: 0, ‘D’: 0, ‘C’: 0, ‘L’: 0, ‘X’: 0, ‘V’: 0, ‘I’: 0,}
>>> para anINTEGER en xrange (1, 1001):
… para aNUM en int2roman (anINTEGER):
… AFD [aNUM] + = 1
…
>>> para aK in (‘M’, ‘D’, ‘C’, ‘L’, ‘X’, ‘V’, ‘I’): imprima aK, aFD [aK]
..
M 101
D 500
C 1500
L 500
X 1500
V 500
Yo 1400

Para aquellos que afirmarían que el formato sustractivo romano no siempre se usó como un mapeo único, tales afirmaciones serán correctas (para detalles se puede referir amablemente a las anomalías citadas con mayor frecuencia en Wikipedia et al).

Para ayudar a jugar con enumeraciones en formato de número romano, permítanme también dejar la herramienta de juguete simple para la libertad de cualquier otro experimento:

aSYMBOL_MAP = [(1000, ‘M’), (900, ‘CM’),
(500, ‘D’), (400, ‘CD’),
(100, ‘C’), (90, ‘XC’),
(50, ‘L’), (40, ‘XL’),
(10, ‘X’), (9, ‘IX’),
(5, ‘V’), (4, ‘IV’),
(1, ‘I’),
]

def int2roman (anINT):
romano = ”
mientras anINT> 0:
para i, r en aSYMBOL_MAP:
mientras anINT> = i:
romano + = r; anINT – = i
volver romano

Paso 1: La generalización.

Dado el rango establecido de números naturales (que deben enumerarse bajo la revisión de la hipótesis de la pregunta expresada), seguramente será denso en , las frecuencias absolutas de las apariencias de cada símbolo, utilizadas para una representación simbólica de cada uno de los números naturales solicitados N del rango dado inicialmente depende tanto del formato de notación numérica de la enumeración (hindú-árabe, romano, …) como del conjunto de símbolos (que determina la Radix), utilizado para representar cada N bajo dicha enumeración.

Elegir sistemas de formato no decadico o sustractivo puede producir muchos resultados interesantes, inspiradores e inicialmente inesperados.

Usando una notación posicional (no sustractiva), basada en cualquier Radix-Q, tal que Q> supremumN (~ 1001, 1002, ..), cualquier símbolo (diseñado para denotar el desplazamiento posicional de dicho sistema) será el menor tiempo observado ( cero veces), durante el proceso de enumeración, independientemente del conjunto de símbolos real utilizado para dicho sistema de numeración artificialmente “ad-hoc construido” (pero aún legítimo y válido).

EPÍLOGO:

Cualquier enfoque no ortodoxo, que cumpla con la definición inicial del problema, pone a prueba nuestra propia imaginación y también los límites o la amplitud de una mentalidad abierta de los organizadores de la Olimpiada Matemática amable e inagotable, que muestra si se encuentran listos para aceptar también y honrar, o mejor proporcionar cualquier bono extra, no escalado linealmente, para cualquier solución válida no trivial o para una pluralidad de soluciones.

Answer 2

Imagina escribir todos estos números, luego mira la columna de la derecha.

Los dígitos del ciclo 1,2, …, 9,0; 1,2, …, 9,0; 1,2 … hasta el último ciclo, que se interrumpe bruscamente: 1,2, EL FINAL.

Todos los ciclos, excepto el último, contienen exactamente uno de cada dígito, por lo que esos dígitos aparecerán la misma cantidad de veces. En el ciclo interrumpido, pueden faltar algunos de los últimos dígitos. Entonces estos son potencialmente menos frecuentes.

Lo mismo se aplica a todas las columnas (excepto que los dígitos se repiten entonces).

Answer 3

La respuesta es 0 (cero).

Entre 1 y 99, todos los dígitos aparecerán 20 veces, excepto el dígito cero, que ocurrirá solo 9 veces (10,20,30… 90).

Entre 100 y 199 todos los dígitos aparecerán 20 veces, pero el dígito 1 ocurrirá 120 veces y el dígito 0 aparecerá 20 veces (100,101,102 … 109) = 11 veces + (110,120,130 … 190) = 9 veces.

Entre 200 y 299, todos los dígitos aparecerán 20 veces, pero el dígito 2 aparecerá 120 veces y el dígito 0 aparecerá 20 veces (200,201,202… 209) = 11 veces + (210,220,230… 290) = 9 veces.

..

..

..

Considerando 1 a 999, todos los dígitos aparecerán 300 veces, pero 0 solo ocurrirá 189 veces.

Si consideramos hasta el entero 1000

Los ceros ocurrirán 192 veces

Uno ocurrirá 301 veces

El resto de los dígitos ocurrirá 300 veces.

Ps: la captura simple aquí es que no escribiremos enteros del 1 al 99 con ceros anteriores como 01,02,03..099. Por lo tanto, estamos eliminando aproximadamente cien ocurrencias del dígito cero en comparación con otros dígitos en la serie de enteros del 1 al 1000.

Answer 4

Toma los números de dos dígitos. Comienzan con 1 algo, van a 2 algo, luego van a 3 algo y terminan con 9 algo. No encuentra números de dos dígitos que comienzan con 0 algo.

Del mismo modo, encontrará que los números de 3 dígitos también comienzan con 1 algo, van a 2 algo y finalmente terminan con 9 algo. No encuentra números de 3 dígitos que comienzan con 0 algo.

Esta es la razón por la cual 0 ocurre con menos frecuencia en comparación con los otros dígitos.

Answer 5

Escribir todos los enteros entre 1 y 100, o entre 1 y 10 ^ n, es lo mismo que escribir todos los vectores para x_i en {0,1,2, …, 9}. Ocurre que cualquier vector con un bloque inicial de ceros, es decir, de la forma 0x, o 00x, o 00 … 0x, etc., puede escribirse descartando el 0 inicial, por lo que 08 generalmente se escribe como 8 y 007 como 7 , etc. Por eso (porque se descartan los bloques iniciales de ceros) el dígito cero ocurre con menos frecuencia.

Answer 6

Aquí hay un boceto, no es realmente una prueba formal, pero podría convertirse en uno con bastante facilidad:

Considere cada combinación ABC de 3 dígitos, donde A, B y C pueden ser cualquier número entre 0 y 9. Tenga en cuenta que todas las diferentes combinaciones corresponden únicamente a un número entre 0 y 999 (001 corresponde a 1, y así sucesivamente). Es decir, hay una biyección entre el conjunto de todas las combinaciones {ABC} y el conjunto de enteros {0, 1, …, 999}. Cada dígito se usa el mismo número de veces en el conjunto de todas las combinaciones para ABC, ya que todas son esencialmente idénticas (excepto sus etiquetas) y, por lo tanto, intercambiables. Sin embargo, en los enteros entre 1 y 999, los ceros iniciales quedan excluidos. Es el único dígito para el que se aplica. Por lo tanto, hay menos 0 que cualquier otro dígito (y, de hecho, por esta misma razón, para los números entre 1 y 999, los dígitos 1–9 tienen el mismo número de ocurrencias).

Ahora solo tiene que preocuparse por 1000. Es bastante fácil darse cuenta de que los tres 0 adicionales no compensan todos los 0 iniciales que faltan. Entonces, 0 es el dígito menos frecuente en los enteros entre 1 y 1000 (y un hecho divertido adicional es que 1 en 1000 hace que 1 sea el dígito más frecuente en este conjunto de enteros).

Answer 7

Supongamos que escribe todos los enteros:

000, 001, 002, 003, … 999

De esta manera, todos los dígitos tienen la misma frecuencia: 1/10 (o 300 veces).

Ahora, agregamos un 1, tres ceros y rascamos 1 × 3 + 9 × 2 + 90 × 1 = 111 ceros.

¿Qué dígito ocurre con menos frecuencia?

Answer 8

Anote todas las combinaciones de los dígitos, de 000 a 999 . Cada dígito aparece exactamente [matemáticas] 300 [/ matemáticas] veces.

Ahora escribe 1 delante de 000 . Acaba de escribir un 1 adicional, y ahora tiene los números de [matemáticas] 001 [/ matemáticas] a [matemáticas] 1000 [/ matemáticas].

Elimina los ceros a la izquierda. Esos son [matemática] 108 [/ matemática] ceros a la izquierda (dos ceros a la izquierda antes de números de un dígito, total [matemática] 18 [/ matemática] y un cero a la izquierda para cada [matemática] 90 [/ matemática] números de dos dígitos).

Entonces tendrás [matemática] 192 [/ matemática] ceros, [matemática] 301 [/ matemática] y [matemática] 300 [/ matemática] de cada otro dígito.

La respuesta a la pregunta es: 0 .

Answer 9

La respuesta es 0. Porque no escribimos el primer dígito como 0. Es decir, no escribimos 015 o 007 mientras escribimos números. Pero otros todos los dígitos tienen una parte justa como primer dígito (o lo que los matemáticos llaman el dígito más significativo).

Entonces, en 1–999, 0 quedará rezagado respecto de otros dígitos como

9 (para números de 1 dígito) + 99 (para números de 2 dígitos) = 108

Sin embargo, incluso 1000, 0 es menos frecuente de 1 por 106 y de todos los demás dígitos por margen de 105.

Answer 10

Problema más fácil. Solo sube hasta 100.

Si represento 0, hasta 99 con 00, 01, 02 … 10, 11, 12 … 99, obtengo 20 de cada dígito. Quite el 00 y agregue el 100. Obtengo 21 1 y 20 de cada otro dígito. Cambia 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08 y 09 a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y obtengo 21 1, 11 0 y 20 de todo más.

Expande esta idea para el 1000.