[(1) / {(2 ^ 11) (5 ^ 17)}] Supuestamente hay menos de 11 números distintos de cero después del decimal. ¿Cómo puedo calcular cuántos? Quiero el método, no la respuesta real.

Answer 1

Bueno, la forma en que lo pensé:

Sea X = 1 / (2 ^ 11 * 5 ^ 17) = 1 / (10 ^ 11 * 5 ^ 6)

Dividir por una potencia de 10 no cambiará el número de números distintos de cero después del decimal, solo deslizará esos números distintos de cero a la derecha. Entonces, el número de dígitos distintos de cero a la derecha del decimal en X es el mismo que el número de dígitos distintos de cero a la derecha del decimal en 1 / (5 ^ 6), que llamaré Y.

Si multiplico Y por 10 ^ 6 (que desplaza todo a la izquierda 6 lugares), obtengo 10 ^ 6/5 ^ 6 = 2 ^ 6, que es un número entero (de hecho, es 64, pero ignore eso por un segundo ) En otras palabras, los primeros 6 dígitos a la derecha del decimal en Y PODRÍAN ser distintos de cero, pero todo a la derecha de eso es 0, y sabemos esto porque desplazar Y a la izquierda por 6 lugares produce un número entero (nada para el derecha del decimal). Entonces, Y tiene MÁS DE 6 dígitos distintos de cero a la derecha del decimal, por lo que Z tiene como máximo 6 dígitos a la derecha del decimal.

Pero, debido a que estos eran números fáciles de trabajar, descubrimos que 10 ^ 6 Y = 2 ^ 6 = 64. Entonces, Y es solo 64 desplazado a la derecha 6 decimales, y podemos desplazarlo a la derecha otros 11 lugares para obtener Z. Entonces, realmente, Z solo tiene dos dígitos distintos de cero a la derecha del decimal.

Lo señalo porque usamos una técnica para LÍMITAR fácilmente el número de dígitos distintos de cero en Z por 6, sin “hacer los cálculos” para ver que la respuesta es dos.

Si el problema se preguntara por 1 / (2 ^ 111 * 5 ^ 411), podría decir que hay como máximo 300 dígitos distintos de cero a la derecha del punto decimal utilizando el mismo argumento. Pero realmente no quiero calcular 2 ^ 300 para descubrir cuántos son realmente cero (sin embargo, no me sorprendería si alguien saltara con una explicación simple de cómo calcular eso).

Answer 2

Considere [math] d = \ frac {1} {2 ^ a 5 ^ b} [/ math] donde a y b son enteros no negativos.

En el caso trivial donde a = b , la respuesta es siempre 1.

Hay dos casos no triviales:

Caso 1: a .

Deje c = b – a . Entonces [matemáticas] d = \ frac {2 ^ c} {10 ^ b} [/ matemáticas]

La expansión decimal es simplemente [matemática] 2 ^ c [/ matemática] desplazada a la derecha por b dígitos.
¿Cuántos dígitos en [matemáticas] 2 ^ c [/ matemáticas]? Eso es simplemente [math] \ lfloor log_ {10} (2 ^ c) \ rfloor + 1 = \ lfloor c * 0.30103… \ rfloor + 1 [/ math]

Caso 2: a> b .

Sea c = a – b . Entonces [matemáticas] d = \ frac {5 ^ c} {10 ^ a} [/ matemáticas]

La expansión decimal es simplemente [matemática] 5 ^ c [/ matemática] desplazada a la derecha por un dígito.
¿Cuántos dígitos en [matemáticas] 5 ^ c [/ matemáticas]? Eso es simplemente [math] \ lfloor log_ {10} (5 ^ c) \ rfloor + 1 = \ lfloor c * 0.69897… \ rfloor + 1 [/ math]

Este método le indica un límite superior preciso para el número de dígitos distintos de cero en la expansión decimal de [math] \ frac {1} {2 ^ a 5 ^ b} [/ math].

Puede haber menos dígitos distintos de cero porque algunos ceros pueden estar incrustados en las representaciones decimales de [matemática] 2 ^ c [/ matemática] o [matemática] 5 ^ c [/ matemática]. (ejemplos [matemática] 2 ^ {10}, 2 ^ {11}, 2 ^ {12}, 5 ^ 8, 5 ^ {12} [/ matemática]).

Lo siento, pero no tengo un método para obtener la cantidad de ceros incrustados
en los ejemplos anteriores

Su ejemplo tiene a = 11 , b = 17 . Este es el caso 1 yc = 6 . Por lo tanto, la expansión decimal es [matemática] 2 ^ 6 [/ matemática] desplazada 17 decimales a la derecha. [matemática] 2 ^ 6 = 64 [/ matemática] por lo que su ejemplo tiene exactamente 2 dígitos distintos de cero en su expansión decimal.

Nota: [matemáticas] 0.30103… = log_ {10} (2) [/ matemáticas] y [matemáticas] 0.69897… = log_ {10} (5) [/ matemáticas]

Editado para usar algo de LaTeX, un proceso de aprendizaje.

Answer 3

Queremos saber cuántos números distintos de cero hay después del decimal en el número representado por [matemáticas] \ frac {1} {\ left (2 ^ {11} \ right) \ left (5 ^ {17} \ right) }.[/matemáticas]

El denominador consiste en poderes de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. Convierte a una potencia de [matemáticas] 10 [/ matemáticas], como en:

[matemáticas] \ frac {1} {\ left (2 ^ {11} \ right) \ left (5 ^ {17} \ right)} = \ frac {1} {\ left (2 ^ {11} \ right) \ left (5 ^ {11} \ right) \ left (5 ^ {6} \ right)} = \ frac {1} {\ left (10 ^ {11} \ right) \ left (5 ^ {6} \ derecha)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {\ left (10 ^ {11} \ right) \ left (5 ^ {6} \ right)} \ times \ frac {\ left (2 ^ 6 \ right)} {\ left (2 ^ 6 \ right)} = \ frac {\ left (2 ^ 6 \ right)} {\ left (10 ^ {11} \ right) \ left (10 ^ {6} \ right)} = \ frac {\ left (2 ^ 6 \ right)} {\ left (10 ^ {17} \ right)}. [/ math]

El numerador es [matemática] 2 ^ 6 = 64. [/ Matemática]

Está claro que el número de números distintos de cero después del decimal sería igual al número de números distintos de cero en el numerador que es [matemática] 2. [/ Matemática]

Answer 4

El denominador consiste en un grupo de 2s e incluso más 5s, todos multiplicados juntos. Une cada 2 con un 5. Sabes qué es 2 por 5 y qué efecto tiene la fracción para cada uno de los que están en el denominador, ¿verdad? ¿Cuántos 5 sobrantes? ¿Qué es 1/5 en decimales? Ese es un número del que deberías poder tomar algunos poderes con bastante facilidad en tu cabeza. Deberías poder terminarlo desde aquí.