Entonces, el número que estamos viendo parece ser
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {10} 6 ^ {n ^ 2} [/ matemáticas]
Como cada término es divisible por 2 y 3, su suma también lo es. En cuanto al resto, vamos a usar aritmética modular.
[matemáticas] 6 \ equiv_5 1 \ Rightarrow \ sum_ {n = 1} ^ {10} 6 ^ {n ^ 2} \ equiv_5 \ sum_ {n = 1} ^ {10} 1 \ equiv_5 0 [/ math]
- ¿Cómo podemos expresar 100 usando seis nueve?
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- ¿Puedo resolver el cubo en cuatro pasos?
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- Si [matemática] 2 \ circ4 = 38, 3 \ circ5 = 75, 6 \ circ8 = 342 [/ matemática] y [matemática] 7 \ circ9 = 503 [/ matemática], entonces, ¿qué [matemática] 10 \ circ12 [/ matemáticas] igual?
Entonces es divisible por 5
[matemáticas] 6 \ equiv_7 -1 \ Rightarrow \ sum_ {n = 1} ^ {10} 6 ^ {n ^ 2} \ equiv_7 \ sum_ {n = 1} ^ {10} (-1) ^ {n ^ 2 } = \ sum_ {n = 1} ^ {10} (-1) ^ {n} = 0 [/ matemáticas]
Entonces es divisible por 7
Desde este punto, para cada p, voy a enumerar las potencias de 6 mod p, hasta que llegue a una potencia n tal que [matemática] 6 ^ n \ equiv_p 1 [/ matemática]. También voy a enumerar los primeros diez cuadrados perfectos mod n, para mi conveniencia posterior.
Para 11: 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1, entonces [matemáticas] 6 ^ {10k} \ equiv_ {11} 1, k \ in \ mathbb {N} [/ matemáticas ] Cuadrados perfectos mod 10: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {10} 6 ^ {n ^ 2} \ equiv_ {11} 6 + 9 + 2 + 5 + 10 + 5 + 2 + 9 + 6 + 1 \ equiv_ {11} 0 [/ matemáticas]
Entonces es divisible por 11
Para 13: 6, 10, 8, 9, 2, 12, 7, 3, 5, 4, 11, 1, entonces [matemáticas] 6 ^ {12k} \ equiv_ {13} 1, k \ in \ mathbb {N }[/matemáticas]. Cuadrados perfectos mod 12: 1, 4, 9, 4, 1, 12, 1, 4, 9, 4
[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {10} 6 ^ {n ^ 2} \ equiv_ {13} 6 + 9 + 5 + 9 + 6 + 1 + 6 + 9 + 5 + 9 \ equiv_ {13} 0 [/ matemáticas]
Entonces es divisible por 13
En cuanto a 37, no voy a enumerar las primeras 36 potencias de 6 mod 37, pero voy a notar lo siguiente: [matemáticas] 6 ^ {4k} \ equiv_ {37} 1, 6 ^ {4k + 1} \ equiv_ {37} 6 [/ math], que en realidad cubre todas nuestras bases. Todos los poderes impares de 6 en esta suma son 6 más que un múltiplo de 37, y todos los poderes pares son 1 más que un múltiplo de 37.
Entonces [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {10} 6 ^ {n ^ 2} \ equiv_ {37} 5 (1) +5 (6) \ equiv_ {37} 35 [/ matemáticas]
Entonces no es divisible por 37.