¿Por qué puede mostrarse el número total de cuadrados en una cuadrícula de 10 por 10 por 1 (9 ^ 2) +2 (8 ^ 2) +3 (7 ^ 2) +4 (6 ^ 2) +5 (5 ^ 2) +6 (4 ^ 2) +7 (3 ^ 2) +8 (2 ^ 2) +9 (1 ^ 2)?

Answer 1

De manera más general, mostramos que hay exactamente [matemática] (n-k + 1) ^ 2 [/ matemática] cuadrados de tamaño [matemática] k \ veces k [/ matemática] en una [matemática] n \ veces n [/ math], para [math] k \ in \ {1,2,3, \ ldots, n \} [/ math]. En particular, hay [math] n [/ math] subcuadros de tamaño [math] 1 \ times 1 [/ math], y un subcuadrado de tamaño [math] n \ times n [/ math].

Por lo tanto hay

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n (n-k + 1) ^ 2 = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 = \ dfrac {1} {6} n (n + 1) (2n + 1) [/ matemáticas]

subcuadrados en un cuadrado [matemático] n \ veces n [/ matemático].

---

Coloque la esquina inferior izquierda del cuadrado [math] n \ times n [/ math] en [math] (0,0) [/ math] e identifique cada subcuadro por la coordenada de la esquina inferior izquierda . Tenga en cuenta que el tamaño [math] k [/ math] de un subcuadrado debe estar en el conjunto [math] \ {1,2,3, \ ldots, n \} [/ math].

Arregle [math] k \ in \ {1,2,3 \ ldots, n \} [/ math]. Entonces [math] (x_k, y_k) [/ math] es un posible candidato para la esquina inferior izquierda de un subcuadrado [math] k \ times k [/ math] si y solo si [math] x_k [/ math] y [math] y_k [/ math] pertenecen al conjunto [math] \ {0,1,2, \ ldots, nk \} [/ math]. Dado que las opciones para [matemáticas] x_k [/ matemáticas] y [matemáticas] y_k [/ matemáticas] son ​​independientes entre sí, existen [matemáticas] (n-k + 1) ^ 2 [/ matemáticas] tales opciones, y en consecuencia tantas subcuadradas [matemáticas] k \ veces k [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

La pregunta es incomprensible. De lo que pude encontrar sentido, desea encontrar el número de cuadrados en una cuadrícula.

Tome un cuadrado de 5 por 5, por ejemplo.

Hay 1 cuadrado que es 5 × 5.

Hay 4 cuadrados que son 4 × 4.
Hay 9 cuadrados que son 3 × 3.
Hay 16 cuadrados que son 2 × 2.
Hay 25 cuadrados que son 1 × 1.

Cuadrados totales = [matemática] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2 [/ matemática]

Del mismo modo, en una cuadrícula de diez por diez, el número total de cuadrados son:

[matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 +… + 9 ^ 2 + 10 ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 3

No puede La fórmula correcta es [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ 9 (10-i) ^ 2 [/ matemática].

Es fácil ver que la esquina superior izquierda de un cuadrado [matemático] i \ veces i [/ matemático] podría estar en cualquiera de las primeras filas o columnas [matemática] 10-i [/ matemático], para un total de [matemáticas] (10-i) ^ 2 [/ matemáticas] posibles posiciones.

Las fotos podrían venir más tarde.

Answer 4

No entiendo bien la pregunta, pero creo que estás haciendo algo mal. La suma de cuadrados en un cuadrado de 9 × 9 es la suma de cuadrados hasta 9 inclusive (9 ^ 2 + 8 ^ 2 + 7 ^ 2 +… + 1 ^ 2). De hecho, esta fórmula funciona con todos los enteros positivos n. [n ^ 2 + (n-1) ^ 2 + (n-2) ^ 2 +… + 1 ^ 2] Desafortunadamente, no sé por qué sucede eso. Sin embargo, estoy seguro de que puedes encontrarlo buscando la fórmula de suma de cuadrados.

Por eso creo que podría haber cometido un error: su número (825) es mayor que el número total de cuadrados en una cuadrícula de 10 × 10 (385). Dicho esto, podría entender mal la pregunta. Espero que esto ayude.