¿Cómo se pueden organizar los números del 1 al 10 en un círculo de modo que la suma de dos números adyacentes sea igual a la suma de sus dos números opuestos?

Answer 1

Hagamos esta pregunta un poco clara.
Para encontrar soluciones al sistema de ecuaciones:
[matemáticas] a + b = f + g [/ matemáticas]… 1
[matemáticas] b + c = g + h [/ matemáticas]… .2
[matemáticas] c + d = h + i [/ matemáticas]… .3
[matemáticas] d + e = i + j [/ matemáticas]… .4
[matemáticas] e + f = j + a [/ matemáticas]… ..5

De 1 y 2
[matemáticas] a + h = c + f [/ matemáticas]… 6
De 6 y 3
[matemáticas] a + d = f + i [/ matemáticas]… 7

Ahora este sistema de ecuaciones no tiene una solución única. Considere a = 1 yf = 2. Luego, las otras ecuaciones de la siguiente manera
[matemáticas] f = a + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = g + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] h = c + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] d = i + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] j = e +1 [/ matemáticas]
Los números pueden caber en las letras (porciones de pizza) simplemente siguiendo las ecuaciones anteriores.

Otra solución puede ser seguir a = 1 yf = 6 entonces,
[matemáticas] f = a + 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = g + 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] h = c + 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] d = i + 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] j = e + 5 [/ matemáticas]

Solución de muestra:
(a, b, c, d, e, f, g, h, i, j) = (1,10,4,5,8,2,9,3,6,7)

(a, b, c, d, e, f, g, h, i, j) = (1,7,3,9,5,6,2,8,4,10)

Estas configuraciones son permutaciones de pares (1,2), (3,4), (5,6), (7,8) (, 9,10)
y (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10).

Encontrar el número de diferentes soluciones al problema.
Considere una permutación circular. Podemos elegir colocar el primer par de dos maneras diferentes ([matemática] a> f [/ matemática] o [matemática] a <f [/ matemática]). El resto sigue un patrón i, e. cuál es mayor que cuál. El número de posibilidades para el primer par es 5. y disminuye con una asignación adicional de 4,3,2,1
¡Entonces el total de arreglos posibles son [matemáticas] 2 * 5! = 240 [/ matemáticas]
Para dos emparejamientos diferentes, el número total de soluciones es [matemático] 240 * 2 = 480 [/ matemático]

Consideramos a = 1, f = 2 yf = 6.
Para otro método de emparejamiento, como un espacio de 2, no podemos hacer pares. (1,3), (2,4), (5,7), (6,8) (9,10) no son posibles.
Del mismo modo, para la brecha 3 (1,4), (2,5), (3,6), (7,10), (8,9) no es posible.
Para la separación 4 (1,5), (2,6), (3,7), (4,8), (9,10) no es posible