¿Cuál es el tiempo exacto (HH: MM: SS) que cumple la condición de tener exactamente 120 grados entre cada una de las tres agujas (hora, minuto, segundo) de un reloj?

Answer 1

A primera vista, esto parece imposible, pero mantenga una marca. Ahora es el momento de echar un segundo vistazo y examinar los detalles minuciosos. ¡Mira a esos detractores en la cabeza y míranos resolver esto!

Las manecillas de hora, minutos y segundos se mueven hacia adelante a velocidades angulares de la proporción 1: 12: 720. Sin embargo, tres partes móviles son más difíciles de visualizar que dos, y solo nos preocupamos por el movimiento relativo, así que lleva el reloj al espacio y dale a tu cuerpo una rotación muy lenta, girando junto con la aguja del reloj. (La esfera del reloj ahora girará lentamente hacia atrás desde nuestro punto de vista, pero la esfera no es importante). La manecilla de la hora siempre apunta hacia arriba desde nuestro nuevo punto de vista giratorio, y la manecilla de minutos y segundos avanza en la proporción 11: 719.

Antes de atacar el problema, inventemos una nueva unidad llamada clunk, que es igual a 120 grados. Debido a que 360 ​​grados = 3 clunks es una rotación completa, los clunks son iguales si están separados por 3, 6, 9, etc. Así que 2 clunks = 5 clunks = 8 clunks = 11 clunks, etc.

En este lenguaje, el problema es que la manecilla de minutos vaya 1 clunk mientras que la manecilla de segundos vaya a 2, 5, 8, 11 … clunks. (Quizás se pregunte por qué no lo decimos de otra manera, y pida que la manecilla de minutos vaya a 2 clunks. Resulta que no importa; si encuentra una solución con la manecilla de minutos en 1 clunk y el segundo mano en 2, puede usarlo para construir una solución con las manos cambiadas y viceversa.)

Lamentablemente, esto no sucederá. Cuando la manecilla de minutos va 1 clunk, la manecilla de segundos va 719/11 clunks, que es solo un número feo, y definitivamente no uno de 2, 5, 8, 11, etc. (Para verificar si un número es un múltiplo de 11 , alternativamente, sume y reste sus dígitos y vea si el resultado es un múltiplo de 11. Aquí, 7 – 1 + 9 = 15, que no es un múltiplo de 11, entonces 719 no es un múltiplo de 11.)

Podríamos esperar a que la manecilla de minutos llegue a 11 clunks y esté en la posición 2, pero luego la manecilla de segundos habrá ido a 719 clunks y también estará en la posición 2. (Puede decir en qué posición se encuentra una mano después de un cierto número de clunks agregando los dígitos, entonces 11 clunks = 1 + 1 = posición 2. 719 clunks = 7 + 1 + 9 = 17 y 1 + 7 = 8 = posición 2). Esta es la primera vez que ambas manos terminan en grupos simultáneamente, ¡pero por desgracia están en el mismo grupo! Por lo tanto, cada vez que el minutero y el segundero hayan terminado números enteros de clunks, apuntan al mismo lugar.

Parece que nuestro tiempo se acabó, pero no entregue su renuncia temprano. De hecho, aún no hemos sido vencidos.

Tenemos un reloj en el espacio exterior; ¡obviamente deberíamos relativizarlo! La relatividad nos permite cambiar los ángulos de las cosas al entrar en nuevos marcos de referencia. Esto funciona porque aumentar a un nuevo marco reduce las distancias en una sola dirección. Si tiene una línea diagonal, solo la parte horizontal aparece encogida en un nuevo marco.

Aquí, entonces, está nuestro nuevo plan: llamamos a la distancia desde una manecilla de reloj dada al clunk más cercano el “error” de esa manecilla. No podemos hacer que ambos errores sean cero, por lo que los obtenemos pequeños e iguales entre sí. Luego, avanzamos en un cuadro que se mueve perpendicular a la manecilla de la hora, seleccionamos la velocidad correcta y las manecillas parecerán cambiar sus ángulos para alinearse en los grupos.

(Hay una complicación involucrada, que es que impulsar un nuevo marco no conserva la simultaneidad. Esto significa que cuando pensamos que las manecillas tienen el mismo error mientras las observan en el marco del reloj, en realidad tendrán diferentes errores del marco mejorado Sin embargo, estas fallas de simultaneidad son de primer orden en el tamaño del reloj. El cambio de ángulo debido a la contracción de Lorentz es de orden cero en el tamaño del reloj. Para evitar complicaciones algebraicas, tomaremos el límite como el tamaño de el reloj se vuelve muy pequeño, por lo que solo son importantes las correcciones de orden cero fácilmente calculables. Además, tenga en cuenta que estamos hablando aquí de “observaciones” relativistas de las posiciones de las manecillas, es decir, las posiciones que calculamos para los rayos después de que contamos para distorsiones producidas por la demora a medida que la luz viaja desde las manecillas del reloj hasta nuestros ojos. Como señala Leo C. Stein, no hacerlo haría que el ejercicio sea inútil, ya que los ángulos no parecen cambiar en aumento marcos! Esto hace que la respuesta sea un poco insatisfactoria para aquellos que querían ver las manos separadas por 120 grados, en lugar de calcular que sean así).

Encontremos un momento en el que la manecilla de los minutos está a punto de llegar a un clunk y la manecilla de los segundos apenas haya pasado dos clunks. Cuando la manecilla de minutos está exactamente en 1 clunk, la manecilla de segundos está en 719/11 clunks, que llega a 4/11 clunks más allá de la posición 2. Retrocedemos la manecilla de minutos 11/730 de esos 4/11 clunks, y por lo tanto respaldar la segunda mano en 719/730 de 4/11 clunks. Ahora ambos están a 4/730 grupos de sus posiciones deseadas. (Puede descubrir cómo obtuve estos números resolviendo un problema de álgebra, o simplemente piense en ello hasta que pueda visualizar por qué funciona).

Después de un poco de trigonometría que suprimiré para ahorrar en electrones, descubrimos que debemos reducir la extensión horizontal de las manecillas de minutos y segundos por un factor de

[matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ tan \ left (\ frac {\ pi} {3} (1 + \ frac {4} {730}) \ right) \ aprox. 1.0134 [/matemáticas]

Esta [matemática] \ gamma [/ matemática] es el factor relativista de Lorentz, dado por

[matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 – (v / c) ^ 2}} [/ matemáticas]

Resolver esto da

[matemáticas] v \ aproximadamente 0.162 c [/ matemáticas]

Transformando nuestras unidades especiales de clunks en cosas normales como el tiempo, descubrimos que para separar todas las manecillas a 120 grados, todo lo que debemos hacer es esperar hasta las 12: 21: 41.72, luego volar más allá del reloj en un cohete que se mueve perpendicular a la manecilla de la hora al 16,2% de la velocidad de la luz.

Y ahí lo tienes. Fácil como [math] \ frac {2} {3} \, \ pi [/ math].

Answer 2

Como Mark Eichenlaub (y otros) han demostrado, nunca sucede con precisión.

Sin embargo, ¡es simple encontrar un tiempo aproximado (que es simétricamente atractivo) simplemente mirando imágenes de relojes en anuncios!

La simetría de 120 grados es agradable a la vista, y más aún si una de las manos está en posición vertical u horizontal, por lo que los especialistas en marketing generalmente intentan encontrar algo cercano a eso y usan 10:08:30 en sus anuncios:

Los ángulos de las manos en esta condición son 51 °, 180 °, 304.25 °, por lo que los ángulos entre ellos son 129 °, 124.25 °, 106.75 °.

Por supuesto, podría acercarse a 120 ° en otras ocasiones, pero aparentemente no sería tan hermoso. También parece que los especialistas en marketing utilizan un método opuesto al de Mark, fijando la manecilla de segundos a 30 segundos y buscando la mejor combinación de manecillas de hora y minutos.

(Respondiendo porque a2a).

Answer 3

05:49:09

Usando matemáticas enteras, pero está lo suficientemente cerca:

“” “Determine cuándo las manecillas del reloj están más próximas a 120 grados”.
fecha y hora de importación
operador de importación

segundo = datetime.timedelta (segundos = 1)
start = datetime.datetime (año = 2000, mes = 1, día = 1, hora = 0, minuto = 0, segundo = 0)
end = start + datetime.timedelta (horas = 12)
cur = inicio

vals = []

mientras cur sec_angle = cur.second * 6
min_angle = cur.minute * 6 + int (float (cur.second) / 10)
hour_angle = cur.hour * 30 + int (float (cur.minute) / 2 + float (cur.second) / 120)
sec_norm = sec_angle – hour_angle
min_norm = min_angle – hour_angle
si sec_norm <0:
sec_norm + = 360
si min_norm <0:
min_norm + = 360
si sec_norm menor_norm = sec_norm
bigger_norm = min_norm
más:
menor_norm = min_norm
bigger_norm = sec_norm
diff_optimal = abs (más pequeño_norm – 120) + abs (más grande_norm – 240)
vals.append ((diff_optimal, cur))
cur + = segundo
vals.sort (clave = operator.itemgetter (0))
print “El tiempo más cercano es {}”. formato (vals [0] [1])

Answer 4

No estoy de acuerdo: hay muchas posiciones de manos que son respuestas perfectamente válidas para este rompecabezas.

Aquí está la prueba:
1) Toma cualquier mano X, asume que es tu punto de referencia.
2) Colóquese frente al reloj de manera que el ángulo Ω de su vista con la manecilla X en la superficie del reloj sea de 90⁰.
3) Tome cualquier otra mano Y y espere hasta que llegue a una posición tal que 120⁰ 4) Tome la última mano Z y espere hasta que llegue a la posición exactamente opuesta de modo que X ^ Z = – X ^ Y.
5) Modifique Ω girando la superficie del reloj. Observe que cuando las distancias iguales entre usted y la extremidad de Y y Z aumentan o disminuyen, el ángulo Y ^ Z “observado” aumenta desde su valor original hacia 180⁰ hasta que su vista se vuelve paralela con la manecilla X en la superficie del reloj.
6) Encuentre Ω tal que el ángulo Y ^ Z “observado” sea 120⁰.
7) Debido a que los ángulos X ^ Y y X ^ Z “observados” se mantienen iguales, también deben ser 120⁰. Ya terminaste!

Puede hacer fácilmente el ejercicio práctico, pero le recomiendo usar un reloj grande y encontrar un asistente que lo haga girar a una distancia razonable.

También podría doblar la superficie del reloj, pero en la práctica, me temo que su mecanismo puede sufrir un poco.

Ahora un pequeño ejercicio para ti: ¿cuántas posiciones válidas hay?

Answer 5

Esto nunca ocurrirá.

Necesitamos considerar las 22 veces en que la manecilla de hora y minutos estará a 120 o 240 grados la una de la otra. Estos son, aproximadamente:

120 (en sentido horario)

00: 21: 49.1
01: 27: 16.4
02: 32: 43.6
03: 38: 10.9
04: 43: 38.2
05: 49: 05.5
06: 54: 32.7
08: 00: 00.0
09: 05: 27.3
10: 10: 54.5
11: 16: 21.8

240 (= 120 en sentido antihorario)

00: 43: 38.2
01: 49: 05.5
02: 54: 32.7
04: 00: 00.0
05: 05: 27.3
06: 10: 54.5
07: 16: 21.8
08: 21: 49.1
09: 27: 16.4
10: 32: 43.6
11: 38: 10.9

Verificando cada uno, podemos ver que la manecilla de segundos nunca está exactamente a 120 grados de la manecilla de hora o minutos. También es interesante notar que después de las 8:00, la combinación minuto / segundo simplemente se repite: todo es mod 11, por lo que a las 00: 21: 49.1, la manecilla de los minutos es 4/11 durante toda la hora, luego 5/11 a 1: 27: 16.4, y así sucesivamente. Por lo tanto, realmente solo teníamos que verificar qué tan separados estaban la manecilla de segundos y minutos en la rotación de 1/11 a 11/11.

Answer 6

Esta es una pregunta capciosa ya que un conjunto preciso de tres ángulos de 120 grados nunca se puede hacer con las manecillas de un reloj.

En resumen: es bastante fácil obtener dos manos en un ángulo de 120 grados, pero la tercera nunca estará en la posición correcta para completar el set.

Una solución completa se describe fácilmente en Puzzles y Brain Teasers.

Answer 7

Esta es una pregunta realmente interesante. Antes de considerar cualquier cosa, es útil notar que si comenzamos a las 0000h y después de que las manecillas se movieron hasta las 1200h y la posición no ocurrió, entonces nunca ocurrirá. Entonces, simplemente debemos considerar 12 horas como máximo.
Ahora, el siguiente paso sería colocar la manecilla de la hora como punto de referencia. En otras palabras, imagine que la manecilla de la hora no se mueve, pero los números de fondo, la manecilla de los minutos y la manecilla de la hora se mueven. Entonces, obviamente, los números de fondo no importan con respecto a la posición. Así que simplemente consideramos las velocidades relativas de los minutos y segundos.
Para calcular su velocidad relativa, considere cuando la manecilla de la hora se ha movido una hora (en un reloj normal), luego la manecilla de la hora se ha movido 1/12, la manecilla de los minutos se ha movido una revolución completa, y la manecilla de los segundos se ha movido 60 revoluciones.
Ahora la manecilla de minutos ha viajado 11/12 revoluciones lejos de la manecilla de hora, mientras que la manecilla de segundos ha viajado 719/12 revoluciones.
Lo que significa que cada vez que la manecilla de minutos se mueve x revoluciones, la manecilla de segundos mueve 719x / 11 revoluciones.
Así que ahora llamemos a 1/3 de revolución una unidad. Entonces, en nuestro reloj especial donde solo se mueve la manecilla de minutos, nuestra posición especial se alcanza cuando la manecilla de minutos y la manecilla de segundos han viajado 1,2 (mod 3) unidades cada una. (Viceversa también es posible)
Ahora consideramos cuándo la manecilla de minutos ha viajado x unidades, donde x es un número entero. Entonces, para que se produzca la posición especial, 719x / 12 también debe ser un número entero. Lo que significa que x es un múltiplo de 12. Pero recuerde que x debe ser 1,2 (mod 3), por lo que podemos concluir que dicha posición nunca ocurre.

Answer 8

Midamos todo en minutos de la esfera del reloj / reloj, donde 120 grados de ángulo son 20 minutos (20 segundos para la segunda manecilla), y comencemos a las 00:00:00.
En el minuto 20 x 12/11 = 00: 21,8181 …, la manecilla de la hora, que se mueve a 1/12 de la velocidad de la manecilla de minutos, estará en el minuto 20/11 = 1,8181 …, y entonces la diferencia entre las dos manos será exactamente 20.
En ese momento preciso, la manecilla de segundos estará en el minuto / segundo 49,0909 … (= 0,8181 … x 60), en lugar de 41,8181 …, donde debería estar, con una diferencia de 7,2727 … segundos.
Parece que solo es posible una solución aproximada, como han indicado muchas otras respuestas, que sin embargo se repite después de 12/11 de una hora.
Al probar las 11 posibles ocurrencias, la diferencia mínima ocurre a las 09: 05,4545 …, con la manecilla de segundos en el minuto / segundo 27,2727 … (= 0,4545 … x 60), en lugar de 25,4545 …, donde debería ser, con una diferencia de 1,8181 … solo segundos.

Answer 9

8 horas 00 minutos 20 segundos

también 4 horas 00 minutos 40 segundos

ángulo entre dos números es de 30 grados

exactamente 120 grados entre horas aguja y minutos la aguja se produce a las 8 horas 00 minutos o a las 4 horas 00 minutos.

si es 4.00, 40 segundos serán aptos o si son 8.00, entonces 20 segundos serán aptos.

8.00.20 o 4.00.40

Puede haber muchas otras respuestas también.

Answer 10

Hay 120 veces en un día suponiendo un movimiento continuo de las manecillas de minutos y horas.

Answer 11

Cero.