Si tienes tres amigos que tienen un 50% de posibilidades de mentirte, y preguntas si en su ciudad llueve o no, ¿cómo calcularías las probabilidades de ello?

Answer 1

En primer lugar, debemos entender que la probabilidad de que llueva en la ciudad en este momento (o en ese momento) depende de la verdad en la respuesta de los amigos, ya que asumimos que los amigos pueden mirar hacia afuera y ver si está lloviendo y luego da una respuesta. La probabilidad dada de que cualquiera de ellos mienta es del 50%. Pero en última instancia, todos estos eventos de amigos que dicen la verdad o no son eventos independientes y no se afectan entre sí. Es decir, la respuesta dada por un amigo no disminuye ni aumenta la confiabilidad de los otros amigos.

Y después de decir lo anterior, no creo que debamos preocuparnos por la probabilidad de que la ciudad sea propensa a la lluvia per se dependiendo de las condiciones climáticas. Los amigos tienen ojos para ver si está lloviendo EN ESE MOMENTO y responden en consecuencia.

Entonces, la respuesta a esta pregunta o una pregunta de este tipo es tomar la palabra del amigo más confiable o el amigo cuya probabilidad de decir la verdad es mayor. Como todos los amigos tienen la misma probabilidad a este respecto, la respuesta es 0.5 o 50%.

Ahora, si la honestidad se cuantificó como 0.75,0.25,0.66 para los tres amigos respectivamente, entonces la respuesta sería del 75%, ya que ese amigo es el más confiable.

La conclusión es que para problemas de este tipo, la calidad (o en este caso la honestidad) es importante y necesaria y no la cantidad (o el número de amigos). Incluso si tuvieras 100 amigos que te dieran respuestas, querrás tomar la respuesta del amigo más confiable. Por lo tanto, la probabilidad general no se ve afectada por más datos a menos que se observe una entrada de datos de mayor calidad.

Por última vez: la respuesta es que hay un 50% de posibilidades de que realmente llueva en la ciudad en ese momento.

Answer 2

Digamos que la probabilidad de lluvia es R.
¿Cuál es la probabilidad de que un mentiroso diga SÍ?

50% [tiempo que dice la verdad] * (R) [probabilidad de que llueva] +
50% [tiempo que miente] * (1-R) ​​[probabilidad de que llueva] =
50% * (R + 1-R) = 50%

Lo que significa que no hay información (sobre R) en su declaración.
Incluso si tenemos 3 o 4 o 100 de esas personas, incluso entonces no podemos saber la probabilidad de que llueva o no.

Si las condiciones cambian y los mentirosos mienten solo el 5% del tiempo, entonces podemos evaluar R.

Aquí hay una explicación intuitiva de esta respuesta:
Reemplaza las 3 mentirosas con 3 monedas, tira las monedas para obtener H (la moneda dice que lloverá) o T (la moneda dice que no lloverá)
No importa cuántas veces arrojes la moneda, no puedes saber R.

Answer 3

Aquí hay un rompecabezas separado para pensar:

Tu enemigo tiene un dado de 8 lados. Decide tirar el dado una vez y jugar este juego:

Si saca un 1, te dice que está lloviendo.
Si no saca un 1, te dice algo más.

Como sucede, saca un 1 y te dice que está lloviendo.

¿Cuál es la probabilidad de que esté lloviendo?

Debería ser bastante obvio que el juego de tu enemigo no te está dando ninguna información nueva sobre la lluvia. Entonces la respuesta es: “La probabilidad de que llueva es la misma de siempre. Puedo ignorar la información de mi enemigo”.

¡Ah, pero resulta que este rompecabezas y el rompecabezas original son en realidad equivalentes!

Si está lloviendo, entonces la probabilidad de que los tres amigos digan que está lloviendo es 1/8. La otra 7/8 de las veces, dirán algo más.

Si no está lloviendo, entonces la probabilidad de que los tres amigos digan que está lloviendo es 1/8. La otra 7/8 de las veces, dirán algo más.

Para que pueda simplificar su grupo de tres amigos a su único enemigo jugando el juego. Y entonces la respuesta es la misma: “La probabilidad de que llueva es la misma de siempre. Puedo ignorar la información de mis amigos”.

Answer 4

Gracias por A2A 🙂

No sé cómo usar símbolos en Quora, así que estoy publicando una imagen de la solución. Espero que ayude 🙂

Si P (R) difiere de 0.5, entonces la probabilidad requerida será igual a la nueva P (R) ya que P (P1T), P (P2T) y P (P3T) se cancelarán entre sí.

Answer 5

Supongamos que el evento de tener una lluvia como R. Y el evento de un amigo que dice que lloverá como ‘r’ y no lloverá como ‘n’.

Dado que todos tus amigos dicen que está lloviendo, queremos saber cuál es la probabilidad de que realmente esté lloviendo. Nombra el evento de todos tus amigos diciendo que va a llover como ‘rrr’.

Ahora, estamos buscando P (R | rrr).

Del teorema de Bayes,

[matemáticas] P (R | rrr) = \ frac {P (rrr | R) P (R)} {P (rrr)} [/ matemáticas]

La probabilidad de que todos digan que está lloviendo, dado que está lloviendo es

[matemática] P (rrr | R) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125 [/ matemática]

Sin embargo, la probabilidad de que todos digan que va a llover también es

[matemáticas] 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125 [/ matemáticas]

Entonces, la probabilidad de que llueva cuando 3 personas digan cosas al azar sigue siendo la probabilidad de que llueva. El punto importante es que tus amigos tienen la misma probabilidad de mentir si llueve o no, lo que hace que ambos eventos sean algo independientes.

Moraleja de la historia :, cuando la gente dice cosas independientemente de los eventos reales, no va a cambiar con qué frecuencia va a suceder.

Creo que la confusión es al considerar solo 1 amigo. Digamos que solo hay un amigo y él dice que va a llover. Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que llueva? 50%, ¿verdad?

No Todavía es P (R)

Para elaborar, digamos que el evento de lluvia es del 20%. Entonces, por cada 5 veces que se verifica el evento, 1 vez llueve.

Permítanos marcar los eventos de llover (R) y no llover (N) y el evento de que su amigo diga lluvia (r) y no llover (n)

[matemáticas] R – r (50%); n (50%) [/ matemáticas]

[matemáticas] N – r (50%); n (50%) [/ matemáticas]

[matemáticas] N – r (50%); n (50%) [/ matemáticas]

[matemáticas] N – r (50%); n (50%) [/ matemáticas]

[matemáticas] N – r (50%); n (50%) [/ matemáticas]

En general, tu amigo dice que va a llover todavía es 50% y que no va a llover es 50%. Pero la probabilidad de lluvia sigue siendo del 20%.

Answer 6

Si supone que cada amigo responde de forma independiente, sus respuestas no le brindan información. Ya sea que esté lloviendo o no, cada uno tiene un 50% de posibilidades de decir que sí. Por lo tanto, es igualmente probable que vea estas respuestas en caso de lluvia o no.

Si cada uno tiene alguna otra probabilidad de mentir, puede usar el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que llueva. Si tus amigos dicen la verdad con probabilidad [matemática] p [/ matemática] y asignas la misma probabilidad previa a llover o no, entonces la regla de Bayes te da [matemática] p ^ 3 / (p ^ 3 + (1-p) ^ 3 [/ matemáticas].

Answer 7

Aquí hay una forma ligeramente diferente de verlo. Considere la respuesta de una persona. Si está lloviendo, dirá sí la mitad del tiempo y no la mitad del tiempo. Si no está lloviendo, dirá sí la mitad del tiempo y no la mitad del tiempo. En otras palabras, él dirá sí la mitad del tiempo y no la mitad del tiempo, pase lo que pase, por lo que su respuesta le da cero información.

Lo mismo es cierto para las otras dos personas, así que no importa qué respuestas obtenga, no tiene información adicional. Eso significa que la probabilidad de que realmente esté lloviendo no es diferente de lo que sería si no hubiera recibido ninguna respuesta. Si estás en Death Valley, será muy bajo; Si estás en la selva tropical en la temporada de lluvias, será muy alta.