¿Cuántos rectángulos se pueden formar en un tablero de ajedrez?

Answer 1

A2A: Esta es más una pregunta matemática que una pregunta de ajedrez ya que el tablero de ajedrez aquí es un proxy para un plano de coordenadas. Como resultado, es posible que no sea el más calificado para responderla, pero creo que tengo un control sobre la respuesta correcta.

tl; dr para este problema es 1,296 .

Al razonar esto, comencé con un par de “reglas” (que pueden diferir dependiendo de su concepción del problema):

1. Un tablero de ajedrez se asigna a un plano de coordenadas con dimensiones de 9 x 9 (el número de líneas desde el borde del tablero, no el número de cuadrados).
2. Los rectángulos están restringidos a aquellos con dimensiones enteras.
3. Como corolario del n. ° 2, el rectángulo más pequeño posible es un solo cuadrado en el tablero, por ejemplo, e2 o a6.

Si lo piensa (puede haber una prueba geométrica de esto en alguna parte), se pueden usar dos puntos A y B en un plano de coordenadas para definir un rectángulo único ACBD alineado con los ejes x e y si esos dos puntos son usado como los puntos finales de una diagonal AB del rectángulo. Por ejemplo, dados los dos puntos (2,4) y (5,6) y que esos dos puntos forman una diagonal de un rectángulo, ese rectángulo también debe tener esquinas en (2,6) y (5,4). Ese es el único rectángulo en el plano que puede tener una diagonal con puntos finales (2,4) y (5,6). La única excepción a esta regla es cuando los dos puntos comparten una coordenada en común, como (2,4) y (5,4), en cuyo caso el “rectángulo” único definido es solo una línea.

Intenta dibujar un rectángulo que contenga esto como una diagonal, se alinee con los cuadrados en el tablero y no se parezca al rectángulo de abajo. No puedes

Extendiendo esto al tablero de ajedrez, vemos que un tablero de ajedrez es realmente un plano de coordenadas restringido a los enteros de 0 a 8 en ambos ejes. Como establecimos anteriormente, cualquier diagonal se asigna a un rectángulo único en el plano, por lo que lo que podemos hacer es encontrar el número de combinaciones diferentes para cualquiera de los dos puntos A y B. Cada emparejamiento diferente se asignará a un solo rectángulo.

Comencemos con el punto A en [math] (a_ {x}, a_ {y}) [/ math]. ¿En cuántos pares ordenados posibles podría estar A? La respuesta es 9 x 9 = 81: 9 valores posibles para [math] a_ {x} [/ math], y 9 valores posibles para [math] a_ {y} [/ math].

Luego veamos el punto B en [math] (b_ {x}, b_ {y}) [/ math]. Lo que sabemos sobre B es que [matemática] b_ {x} [/ matemática] no puede ser igual a [matemática] a_ {x} [/ matemática] y [matemática] b_ {y} [/ matemática] no puede ser igual a [matemática] a_ { y} [/ math] –si lo hiciera, el rectángulo colapsaría en una línea, lo que supongo que no desea incluir. Por lo tanto, el número total de pares ordenados posibles para B es (9 – 1) x (9 – 1) = 64. Como resultado, el número total de pares de pares ordenados (que, como se explica, se mapea exactamente a un rectángulo cada uno) es 81 x 64 = 5.184.

Obviamente no hemos terminado (ya que ya dije que la respuesta no es 5,184). Lo que debemos tener en cuenta es que si bien cada par de puntos se asigna a un solo rectángulo (se podría decir que el rectángulo es una función de los dos puntos), no funciona al revés: cada rectángulo no se asigna a un solo par de puntos en la diagonal. En el ejemplo anterior, un rectángulo con esquinas en (2,4), (5,6), (2,6) y (5,4) se puede definir por la diagonal entre (2,4) y (5 , 6), pero también se puede definir por la diagonal entre (2,6) y (5,4):

El par de puntos A y B, así como el par C y D, simplemente crean dos diagonales diferentes del mismo rectángulo, por lo que nuestro método cuenta los rectángulos de esta manera. Debido a que cada rectángulo tiene exactamente dos diagonales, el número de rectángulos diferentes en el tablero de ajedrez se reduce a 5,184 / 2 = 2,592.

También tenemos que lidiar con el hecho de que el número calculado cuenta los pares “A y B” y “B y A” por separado, a pesar de que se asignan claramente al mismo rectángulo. Cambiar los dos puntos no crea un nuevo rectángulo, por lo que nuevamente hemos contado dos veces, finalmente reduciendo el número de rectángulos diferentes a 2,592 / 2 = 1,296 .

Comenta si ves que me he perdido algo, y gracias a Murtuza Hussain por el A2A.

Answer 2

La respuesta es simple. Se forma un rectángulo eligiendo dos lados horizontales de 9 disponibles y dos lados verticales de 9. Cada una de esas opciones crea un rectángulo diferente. Entonces, tienes 9C2 x 9C2 = 1296 rectángulos. Por supuesto, los cuadrados también son rectángulos que están incluidos.