Expresando la respuesta usando fórmulas combinatorias, ¿cuántas configuraciones distintas de ‘tic-tac-toe’ (ignorando rotaciones y reflexiones) hay con 5 Xs y 4 Os en una cuadrícula de 3 × 3?

Answer 1

Permitir duplicados bajo rotaciones o reflejos:

Para impares [math] n [/ math], es fácil obtener el número de configuraciones de tablero distintas [math] n \ times n [/ math] donde [math] \ frac {n ^ 2 + 1} {2} [ / matemáticas] [matemáticas] X [/ matemáticas] sy [matemáticas] \ frac {n ^ 2-1} {2} [/ matemáticas] [matemáticas] O [/ matemáticas] s están en el tablero, en el caso donde Las celdas del tablero están etiquetadas. En otras palabras, este es el caso si no necesitamos preocuparnos por las rotaciones y los reflejos.

Entonces la respuesta es simplemente [matemáticas] \ binom {n ^ 2} {\ frac {n ^ 2-1} {2}} [/ matemáticas], ya que debemos elegir [matemáticas] \ frac {n ^ 2-1} {2} [/ math] de las celdas [math] n ^ 2 [/ math] del tablero donde colocar las [math] O [/ math] s. Para un tablero [math] 3 \ times 3 [/ math], esto es [math] \ binom {9} {4} = \ boxed {126} [/ math] configuraciones cuando se permiten duplicados bajo rotaciones o reflexiones.

No permitir duplicados bajo rotaciones o reflejos:

Si queremos que la respuesta haya eliminado los duplicados debido a rotaciones y reflexiones, expresar usando fórmulas combinatorias es un poco más complicado. No estoy seguro de si hay una manera sucinta de explicar las rotaciones y reflexiones, pero lo hago aquí dividiendo el problema en casos disjuntos.

Con este enfoque, la respuesta para un tablero [math] 3 \ times 3 [/ math] es [math] \ boxed {23} [/ math]. De estas configuraciones, [matemáticas] X [/ matemáticas] habría ganado en [matemáticas] 12 [/ matemáticas], [matemáticas] O [/ matemáticas] habría ganado en [matemáticas] 2 [/ matemáticas], ni habría ganado en [matemáticas] 2 [/ matemáticas], y ambos tendrían tres en una fila en [matemáticas] 7 [/ matemáticas].

Contando las configuraciones 3 × 3 sin permitir rotaciones o reflejos:

Nuestra respuesta incremental se inicializa a [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

X en el centro:
Si [math] X [/ math] está en la posición central, debemos poner [math] 4 [/ math] más [math] X [/ math] sy [math] 4 [/ math] más [math] O [/ math] s en el tablero.

• X en el centro, 4 Os en las esquinas:

Hay [math] \ binom {4} {4} = 1 [/ math] forma de poner [math] O [/ math] s en las esquinas, ya que debemos elegir [math] 4 [/ math] de la [matemáticas] 4 [/ matemáticas] esquinas. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 0 + 1 = 1 [/ matemáticas].

• X en el centro, 3 Os en las esquinas:

Hay [matemáticas] \ frac {1} {4} \ binom {4} {3} = 1 [/ matemáticas] formas de poner las primeras [matemáticas] 3 [/ matemáticas] [matemáticas] O [/ matemáticas] s, ya que debemos elegir [matemática] 3 [/ matemática] de las esquinas [matemática] 4 [/ matemática] pero debemos dividir por [matemática] 4 [/ matemática] para tener en cuenta la simetría.

• X en el centro, 3 Os en las esquinas, 1 lado O entre las 2 Os de la esquina:

Hay [matemática] \ frac {1} {2} \ binom {2} {1} = 1 [/ matemática] forma de poner la última [matemática] O [/ matemática] entre dos esquinas [matemática] O [/ matemática ] s, ya que debemos elegir [matemáticas] 1 [/ matemáticas] de las celdas laterales [matemáticas] 2 [/ matemáticas] adyacentes a dos [matemáticas] O [/ matemáticas] pero debemos dividir por [matemáticas] 2 [/ matemática] para explicar la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas].

• X en el centro, 3 Os en las esquinas, 1 lado O entre la esquina O y la esquina X:

Hay [matemática] \ frac {1} {2} \ binom {2} {1} = 1 [/ matemática] forma de poner la última [matemática] O [/ matemática] entre una esquina [matemática] O [/ matemática ] y esquina [matemática] X [/ matemática], ya que debemos elegir [matemática] 1 [/ matemática] de las celdas laterales disponibles [matemática] 2 [/ matemática] adyacentes a una esquina [matemática] O [/ matemática] y esquina [matemática] X [/ matemática] pero debe dividirse entre [matemática] 2 [/ matemática] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 2 + 1 = 3 [/ matemáticas].

• X en el centro, 2 Os en las esquinas adyacentes:

Hay [matemática] \ frac {1} {4} \ binom {4} {1} = 1 [/ matemática] forma de poner las dos primeras [matemática] O [/ matemática] s, ya que, aunque debemos elegir [ matemática] 1 [/ matemática] de los pares de esquinas adyacentes [matemática] 4 [/ matemática], debemos dividir por [matemática] 4 [/ matemática] para tener en cuenta la simetría.

• X en el centro, 2 Os en las esquinas adyacentes, 2 Os laterales opuestos entre sí:

Hay [math] \ binom {2} {1} = 2 [/ math] formas de poner las dos últimas [math] O [/ math] s, ya que debemos elegir [math] 1 [/ math] de la [ matemáticas] 2 [/ matemáticas] pares de celdas del lado opuesto. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 3 + 2 = 5 [/ matemáticas].

• X en el centro, 2 Os en las esquinas adyacentes, 2 lados O diagonal entre sí :

Hay [matemáticas] \ frac {1} {2} \ binom {4} {1} = 2 [/ matemáticas] formas de poner las dos últimas [matemáticas] O [/ matemáticas] s, ya que debemos elegir [matemáticas] 1 [/ math] de los pares de celdas laterales diagonales [math] 4 [/ math] pero debe dividirse entre [math] 2 [/ math] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 5 + 2 = 7 [/ matemáticas].

• X en el centro, 2 Os en las esquinas opuestas:

Hay [math] \ frac {1} {2} \ binom {2} {1} = 1 [/ math] forma de poner las dos primeras [math] O [/ math] s, ya que debemos elegir [math] 1 [/ math] de los [math] 2 [/ math] pares de celdas de la esquina opuesta pero deben dividirse entre [math] 2 [/ math] para tener en cuenta la simetría.

• X en el centro, 2 Os en las esquinas opuestas, 2 Os laterales opuestos entre sí:

Hay [math] \ frac {1} {2} \ binom {2} {1} = 1 [/ math] forma de poner las dos últimas [math] O [/ math] s, ya que debemos elegir [math] 1 [/ math] de los [math] 2 [/ math] pares de celdas del lado opuesto pero deben dividirse entre [math] 2 [/ math] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 7 + 1 = 8 [/ matemáticas].

• X en el centro, 2 Os en las esquinas opuestas, 2 Os laterales en diagonal entre sí:

Hay [matemáticas] \ frac {1} {2} \ binom {4} {1} = 2 [/ matemáticas] formas de poner las dos últimas [matemáticas] O [/ matemáticas] s, ya que debemos elegir [matemáticas] 1 [/ math] de los pares de celdas laterales diagonales [math] 4 [/ math] pero debe dividirse entre [math] 2 [/ math] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 8 + 2 = 10 [/ matemáticas].

• X en el centro, 1 O en la esquina:

Esto contribuirá la misma cantidad que el caso “X en el centro, 3 Os en las esquinas”, ya que [matemática] 1 [/ matemática] esquina [matemática] O [/ matemática] es equivalente a [matemática] 3 [/ matemática] esquina [matemática] X [/ matemática] s, y la sustitución de [matemática] O [/ matemática] con [matemática] X [/ matemática] después de que la primera [matemática] X [/ matemática] se haya colocado en el centro está permitido por simetría ([matemáticas] 4 [/ matemáticas] de cada una en ese punto). La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 10 + 2 = 12 [/ matemáticas].

• X en el centro, 0 Os en la esquina:

Esto contribuirá la misma cantidad que el caso “X en el centro, 4 Os en las esquinas”, ya que [matemáticas] 0 [/ matemáticas] esquinas [matemáticas] O [/ matemáticas] s es equivalente a [matemáticas] 4 [/ matemáticas] esquinas [matemática] X [/ matemática] s, y sustituir [matemática] O [/ matemática] con [matemática] X [/ matemática] después de que la primera [matemática] X [/ matemática] haya sido colocada en el centro está permitido por simetría ([matemáticas] 4 [/ matemáticas] de cada una en ese punto). La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 12 + 1 = 13 [/ matemáticas].

O en el centro:
Si [matemática] O [/ matemática] está en la posición central, debemos poner [matemática] 5 [/ matemática] más [matemática] X [/ matemática] sy [matemática] 3 [/ matemática] más [matemática] O [/ math] s en el tablero.

• O en el centro, 3 Os en las esquinas:

Hay [matemática] \ frac {1} {4} \ binom {4} {3} = 1 [/ matemática] forma de poner la última [matemática] 3 [/ matemática] [matemática] O [/ matemática] s, ya que debemos elegir [matemática] 3 [/ matemática] de las esquinas [matemática] 4 [/ matemática] pero debemos dividir por [matemática] 4 [/ matemática] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 13 + 1 = 14 [/ matemáticas].

• O en el centro, 2 Os en las esquinas adyacentes:

Hay [matemática] \ frac {1} {4} \ binom {4} {1} = 1 [/ matemática] forma de poner estas dos [matemática] [[matemática] en esquinas adyacentes, ya que debemos elegir [ matemática] 1 [/ matemática] de los pares de celdas de esquina adyacentes [matemática] 4 [/ matemática] pero debe dividirse entre [matemática] 4 [/ matemática] para tener en cuenta la simetría. Hay [matemáticas] 3 [/ matemáticas] formas (bajo simetría) para colocar la última [matemáticas] O [/ matemáticas] en una celda lateral. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 14 + 3 = 17 [/ matemáticas].

• O en el centro, 2 Os en las esquinas opuestas:

Hay [matemática] \ frac {1} {2} \ binom {2} {1} = 1 [/ matemática] forma de poner estas dos [matemática] [[matemática] en esquinas opuestas, ya que debemos elegir [ matemática] 1 [/ matemática] de los pares de celdas de la esquina opuesta [matemática] 2 [/ matemática] pero debe dividirse entre [matemática] 2 [/ matemática] para tener en cuenta la simetría. Hay [matemática] \ frac {1} {4} \ binom {4} {1} = 1 [/ matemática] forma de poner la última [matemática] O [/ matemática], ya que debemos elegir [matemática] 1 [ / math] de las celdas laterales [math] 4 [/ math] pero debe dividirse entre [math] 4 [/ math] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 17 + 1 = 18 [/ matemáticas].

• O en el centro, 1 O en la esquina:

Hay [matemática] \ frac {1} {4} \ binom {4} {1} = 1 [/ matemática] forma de poner esta [matemática] O [/ matemática] en una esquina, ya que debemos elegir [matemática] 1 [/ math] de las celdas de la esquina [math] 4 [/ math] pero debe dividirse entre [math] 4 [/ math] para tener en cuenta la simetría.

• O en el centro, 1 O en la esquina, 2 lados opuestos Os:

Hay [math] \ frac {1} {2} \ binom {2} {1} = 1 [/ math] forma de poner las dos últimas [math] O [/ math] s aquí, ya que debemos elegir [math ] 1 [/ math] de los pares de celdas del lado opuesto [math] 2 [/ math] pero debe dividirse entre [math] 2 [/ math] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 18 + 1 = 19 [/ matemáticas].

• O en el centro, 1 O en la esquina, 2 lados diagonales Os:

Hay [math] \ binom {4} {1} = 4 [/ math] formas de poner las dos últimas [math] O [/ math] s aquí, ya que debemos elegir [math] 1 [/ math] de [matemáticas] 4 [/ matemáticas] pares de celdas laterales diagonales. Sin embargo, tenga en cuenta que uno de los [math] 4 [/ math] está duplicado debido a la simetría. Por lo tanto, la respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 19 + 3 = 22 [/ matemáticas].

• O en el centro, 0 Os en la esquina:

Hay [math] \ binom {4} {0} = 1 [/ math] forma de no poner [math] O [/ math] s en las esquinas, ya que debemos elegir [math] 0 [/ math] de la [matemática] 4 [/ matemática] celdas de esquina. Hay [matemática] \ frac {1} {4} \ binom {4} {1} = 1 [/ matemática] forma de colocar la [matemática] X [/ matemática] final en una celda lateral, ya que debemos elegir [ matemática] 1 [/ matemática] de las celdas laterales [matemática] 4 [/ matemática] pero debe dividirse entre [matemática] 4 [/ matemática] para tener en cuenta la simetría. La respuesta ahora se actualiza a [matemáticas] 22 + 1 = 23 [/ matemáticas].