En primer lugar, tenga en cuenta que el argumento directo “una gota cubre 1 cm, por lo que necesita 90 gotas para cubrir 90 cm” es incorrecto: los intervalos cubiertos por las gotas pueden solaparse parcial o incluso completamente. Por lo tanto, se necesitarán más de 90 gotas.
Si no tiene la intuición correcta para este tipo de problemas, probablemente esté pensando que la cantidad de gotas será ligeramente mayor. Tal vez 110? 120? Resulta que necesitamos bastante más que eso. (Esta es básicamente una versión continua del problema del colector de cupones, y el resultado para la versión discreta es igualmente poco intuitivo).
OK, vamos a los negocios. Toma cualquier pedazo pequeño de la línea. La probabilidad de que una sola caída no la golpee es (1-0.01) = 0.99. La probabilidad de que ninguna de las [math] d [/ math] caiga es [math] 0.99 ^ d [/ math]. La probabilidad de que esté húmeda después de que [math] d [/ math] caiga es [math] 1-0.99 ^ d [/ math].
Por linealidad de expectativa, la longitud húmeda esperada después de que caiga [math] d [/ math] es simplemente la “suma” (es decir, integral) de todas esas probabilidades de que las pequeñas piezas de la línea estén mojadas. Y como todas esas probabilidades son iguales, la longitud húmeda esperada es [matemática] 1-0.99 ^ d [/ matemática].
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Como queremos que [math] 0.9 [/ math] metros de la línea estén húmedos, debemos establecer [math] d [/ math] en [math] \ log_ {0.99} (1-0.9) \ aprox 229 [/ math ]
Conclusión: Después de 229 caídas, la longitud esperada de la parte húmeda de la línea es de aproximadamente 0.9 metros.
(Tenga en cuenta que la solución anterior felizmente ignora las cosas que suceden cerca del límite de nuestro medidor. Una gota que cae cerca del límite cubre una pieza más corta de nuestro medidor, por lo tanto, la solución real será muy ligeramente mayor de lo que calculamos. )