¿Hay una demostración matemática de este ‘acertijo’?

Un número de dos dígitos [matemática] s_1 [/ matemática] puede escribirse como

[matemáticas]
s_1 = 10 a + b
[/matemáticas]

con [matemática] 1 \ leq a \ leq 9 [/ matemática] y [matemática] 0 \ leq b \ leq 9 [/ matemática]. Ahora intercambiamos dígitos y obtenemos

[matemáticas]
s_2 = 10 b + a
[/matemáticas]

Si restamos el más grande con el más pequeño obtenemos [matemáticas] | s_1 – s_2 | [/ math] eso es

[matemáticas]
| s_1 – s_2 | = 9 | ab |
[/matemáticas]

Los valores posibles para [math] | ab | [/ math] son ​​[math] 1,2, \ dots, 9 [/ math]
(no puede ser cero porque [matemática] a \ neq b [/ matemática]), si [matemática] | ab | = 1 [/ matemática] el resultado de esta operación es [matemática] 9 [/ matemática] (no un número de dos dígitos) pero la suma de su dígito es 9. En todos los demás casos puede obtener

[matemáticas]
18,27, \ puntos, 81
[/matemáticas]
Todos ellos tienen la propiedad deseada, y debido a que el resultado es divisible entre [matemáticas] 9 [/ matemáticas], la regla de Divisibilidad entre [matemáticas] 9 [/ matemáticas] dice que la suma de sus dígitos es divisible por [matemáticas] 9 [/ math] también, pero para un número de dos dígitos, el único resultado posible de esta operación es [math] 9 [/ math].

Tome un número de dos dígitos: diga [math] xy [/ math].
El valor del número será [matemática] 10x + y [/ matemática].

Si cambia los dígitos, el número se verá como [math] yx [/ math].
Después del cambio, el valor será [matemático] 10y + x [/ matemático].

Ahora, si los restas, la diferencia será:
[matemática] (10x + y) – (10y + x) [/ matemática].
[matemáticas] = 9x – 9y [/ matemáticas]
[matemáticas] = 9 (xy) [/ matemáticas].

Entonces esto siempre tiene que ser divisible por 9.
Si sabe qué es la prueba de divisibilidad de 9, dice que cada número que divide por 9 tiene la suma de sus dígitos igual a 9 al final.

Y no solo dos dígitos, esta diferencia se aplica a cualquier número de dígitos.

Los dos números son ab = 10 * a + b y ba = 10 * b + a. Deje ab

ahora ba – ab = 10 * (a – b) + (b – a) = 9 * (a – b), y (ab) está entre 1 y 9.

Según la aritmética de la escuela primaria, estos múltiplos de 9 tienen una suma de dígitos de 9.

Deje que el primer dígito sea [matemática] a [/ matemática]. Deje que el segundo dígito sea [matemática] b [/ matemática]. El primer valor es [matemática] 10a + b [/ matemática], y el segundo valor es [matemática] 10b + a [/ matemática]. Resta uno del otro y obtendrás [matemática] 9a-9b [/ matemática] o [matemática] 9b-9a [/ matemática], según el dígito que sea más grande. De cualquier manera, el resultado es un múltiplo de 9 y tiene uno o dos dígitos. Siempre que un múltiplo de 9 se represente en decimal, la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9, y cuando solo hay dos dígitos, la suma siempre es 9 después de un solo paso.

Gracias a todos por sus respuestas o comentarios…
Fue muy facil. Sabía que es porque el número es divisible por 9 … Pero estaba buscando una demostración. Gracias aigain 🙂
PD: disculpa mi inglés.

10x + y – (10y + x)
10x + y- 10y -x
9x-9y
9 (xy)
Entonces, el resultado será divisible por 9. Y, será divisible por la diferencia de sus dígitos.