Un número de dos dígitos [matemática] s_1 [/ matemática] puede escribirse como
[matemáticas]
s_1 = 10 a + b
[/matemáticas]
con [matemática] 1 \ leq a \ leq 9 [/ matemática] y [matemática] 0 \ leq b \ leq 9 [/ matemática]. Ahora intercambiamos dígitos y obtenemos
[matemáticas]
s_2 = 10 b + a
[/matemáticas]
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Si restamos el más grande con el más pequeño obtenemos [matemáticas] | s_1 – s_2 | [/ math] eso es
[matemáticas]
| s_1 – s_2 | = 9 | ab |
[/matemáticas]
Los valores posibles para [math] | ab | [/ math] son [math] 1,2, \ dots, 9 [/ math]
(no puede ser cero porque [matemática] a \ neq b [/ matemática]), si [matemática] | ab | = 1 [/ matemática] el resultado de esta operación es [matemática] 9 [/ matemática] (no un número de dos dígitos) pero la suma de su dígito es 9. En todos los demás casos puede obtener
[matemáticas]
18,27, \ puntos, 81
[/matemáticas]
Todos ellos tienen la propiedad deseada, y debido a que el resultado es divisible entre [matemáticas] 9 [/ matemáticas], la regla de Divisibilidad entre [matemáticas] 9 [/ matemáticas] dice que la suma de sus dígitos es divisible por [matemáticas] 9 [/ math] también, pero para un número de dos dígitos, el único resultado posible de esta operación es [math] 9 [/ math].