La respuesta más común es: 10 .
La verdad: cualquier número ; Debido a que no se da la definición matemática de la serie, simplemente se reduce a qué funciones puedo ajustar en los puntos dados, cuyo número es infinito. Se puede hacer usando “polinomios de Lagrange [1] “, pero para dar una intuición, consideremos un ejemplo de las series 3, 5, 7, … Ahora, uno podría argumentar que el siguiente número sería 9, viendo la serie como una progresión aritmética con una diferencia común de 2 y uno podría decir que el siguiente número debería ser 11 al interpretar la serie como una serie de números primos. La siguiente imagen debería aclarar las cosas:
En la imagen de arriba hay 4 curvas (verde, azul, rojo, rosa) que se cruzan entre sí en varios puntos, pero medimos solo 3 (rodeadas de negro). Ahora, con esos 3 puntos, no podemos decir exactamente qué función necesitamos para decir el siguiente número de la serie. De hecho, cualquier número de puntos no será suficiente, más puntos solo harán la aproximación más cercana a la función real. Esto se llama el ” problema inverso [2]” , el proceso de calcular a partir de un conjunto de observaciones los factores causales que los produjeron (Aquí: No conocemos la función, pero solo estamos tratando de aproximarla a través de la serie para obtener el siguiente valor).
Para las series dadas en la pregunta, si observamos las series de coeficientes de expansión de:
1 / ((1-x ^ 2) (1-x ^ 9) (1-x ^ 10))
obtendrá una serie como …, 7, 10, 8, 11, 9, 12, 9, … por lo que la respuesta también puede ser 9 [3]. O solo necesito diferentes funciones que se crucen al menos en 7 puntos, siendo 6 de ellas (1,7), (2,10), (3,8), (4,11), (5,9), (6 , 12) y encuentre (7, y) con la coordenada x como la posición del elemento y la coordenada y como el elemento en esa posición en la serie.
Creo que he dejado claro mi punto sobre cómo puede ser cualquier número ahora para el resto de la respuesta, sigamos con la respuesta más común / esperada, que es 10 .
Se puede explicar de muchas maneras, pero por razones de brevedad, pasaré por solo 3.
Una forma de verlo es agregar 3 y -2 alternativamente para formar la serie. Por ejemplo, si el primer número es 7, sumas 3 y obtendrás 10 ahora suma -2 y obtendrás 8 ahora suma 3 nuevamente para obtener 11 y suma -2 para obtener 9 y así sucesivamente. De esta manera, el siguiente número sería 10.
Otra forma de verlo es como una secuencia intercalada de dos subsecuencias.
secuencia 1: 7, 8, 9, 10
secuencia 2:10, 11, 12
La secuencia intercalada se crea utilizando los números de la secuencia 1 y 2. 7 de la secuencia 1, luego 10 de la secuencia 2, luego 8 de la secuencia 1 nuevamente y así sucesivamente. Cada número en ambas secuencias es 1 mayor que el número anterior en la secuencia correspondiente, lo cual es muy fácil de detectar. Siguiendo este patrón para el siguiente número en la secuencia principal, necesitamos el número de la secuencia 1 que viene después de 9, que es 10 .
Si por alguna razón es difícil digerir que la secuencia principal es una combinación de dos subsecuencias, podemos verla con una perspectiva diferente, considerándola como una secuencia única y podemos definirla recursivamente como:
a (n) = a (n-2) + 1, para todos n> 1 y a (0) = 7, a (1) = 10
La definición anterior solo significa que manteniendo el primer y segundo elemento de la secuencia fijo como 7 y 10 podemos derivar el resto de los elementos adicionales como 1 más que el elemento dos posiciones atrás, por ejemplo, 8 es el tercer elemento y es 1 más que el primer elemento que es 7. Siguiendo esta definición, se nos dan 6 elementos iniciales de la serie y se nos requiere encontrar el séptimo elemento. Por lo tanto, el siguiente número sería 1 más que el quinto elemento, que es (9 +1) = 10 .
Entonces la serie “final” sería: 7, 10, 8, 11, 9, 12, 10, …
[fuente]
[1] Polinomio de Lagrange
[2] Problema inverso
[3] A025823 – OEIS
Además, puedes verlo al revés.