Descubrí que una vez que las personas están convencidas de una solución para este tipo de problema de probabilidad “simple” (y por “simple”, me refiero a un pequeño número de casos, no simples en concepto; los ejemplos incluyen Monty Hall y Two Children), Casi nunca están convencidos por una solución contradictoria. Para hacer eso, debe hacer que acepten lo que está mal con su solución. Y crearán un punto ciego mental para la lógica detrás de lo que está mal.
En el Problema de los dos sobres, el error que debe aceptarse es una aplicación incorrecta del Principio de indiferencia, o POI. Es lo que dice, cuando tienes un dado de seis lados y no hay razón para creer que un lado está equilibrado de manera diferente que otro, que cada uno tiene una probabilidad de 1/6 de terminar en la cima cuando se tira el dado. La lógica es que si no tiene base para decir, por ejemplo, que P (1)
P (2), solo puede suponer P (1) = P (2).
Pero para aplicarlo, debes asegurarte de no tener esa base. La gente se equivoca simplemente enumerando casos que suenan equivalentes a ellos. Si intenta discutir el Problema de los dos niños, siempre encontrará a aquellos que dicen “el orden no puede importar”, por lo que dos niños, un niño y una niña, y dos niñas tienen la misma probabilidad.
El paso incorrecto en el Problema de dos sobres es “La probabilidad de que A sea la cantidad más pequeña es 1/2, y que es la cantidad más grande también es 1/2″. Si bien el POI dice que es igualmente probable que uno elija la cantidad mayor o menor, no dice que cualquier número específico sea igualmente probable que sea la cantidad mayor o menor. Por ejemplo, si lo que contienen los sobres es papel moneda estadounidense, $ 1 simplemente no puede ser la cantidad más alta. Muchas personas, con puntos ciegos como mencioné, han intentado crear distribuciones de probabilidad que permiten P (A = alto) = P (A = bajo), pero todos tienen fallas que los hacen poco realistas.
La solución correcta no trata a A como fijo, trata la cantidad total T como fija. Esto funciona porque no necesitamos saber cuál es la probabilidad de que T tenga algún valor específico para obtener un valor esperado. Se espera que cada sobre contenga T / 2.
Recientemente pensé en otra forma de explicar el concepto que describí anteriormente. Si bien la explicación es más larga e incluye un concepto avanzado, puede ser más fácil de aceptar.
Digamos que se le presentan dos pares de sobres; un par contiene $ 10 y $ 20, respectivamente; y el otro contiene $ 20 y $ 40. Eliges un sobre y tienes la oportunidad de cambiar al otro sobre del mismo par. Deberías?
Tenga en cuenta que, independientemente de cómo elija, existe un 50% de posibilidades de que tenga la menor cantidad del par, y un 50% de posibilidades de que tenga la mayor cantidad. Excepto que conoce los valores establecidos (pero no lo que ha elegido), esto es lo mismo que el clásico Problema de los dos sobres.
Las posibilidades son mucho más fáciles de describir ahora: las posibilidades son iguales de que gane $ 10 (canjee $ 10 por $ 20) o pierda $ 10 (canjee $ 20 por $ 10). También son iguales a que ganará $ 20 (canjee $ 20 por $ 40), o pierda $ 20 (canjee $ 40 por $ 20). Por lo tanto, no puede haber ningún beneficio en el intercambio. Tampoco es que el argumento “intercambiar de nuevo” esté completamente invalidado ya que congeló el conjunto de valores cuando seleccionó un par de sobres.
¿Qué pasa si se le permite abrir el sobre? Si ve $ 10, sabe que ganará $ 10, por lo que debe cambiar. Si ve $ 40, sabe que perderá $ 20 y no debe cambiar. Y si ve $ 20, ¿el valor que conoce tiene la misma probabilidad de ser el valor alto o bajo? Solo entonces tiene una ganancia esperada de ($ 20- $ 10) / 2 = $ 5, que es exactamente lo que predice el argumento de cambio. Y cambiar de nuevo solo puede devolverlo a donde estaba, por lo que tiene una pérdida esperada de $ 5.
¿Qué pasaría si hubiera tres pares de sobres: {$ 10, $ 20}, {$ 20, $ 40} y {$ 40, $ 80}? Se aplican las mismas conclusiones: no puedes esperar una ganancia si no miras, porque congelaste el par de valores cuando elegiste un par. Mirar puede ayudar, pero solo si ve un valor que no es de $ 80. Y si es de $ 80, la pérdida por el intercambio es mucho mayor que cualquier ganancia esperada. Y las conclusiones siguen aplicándose sin importar cuántos pares de sobres haya.
Ahora para la parte avanzada: incluso si no conoce el conjunto de valores, quien haya puesto el dinero en estos sobres tenía un conjunto en mente. Sus posibilidades dependen de dónde encaja el valor que tiene en ese conjunto. Si no lo sabe, incluso si parece que cambiar no puede ayudar.