¿Cuál es el número más pequeño de rectángulos no congruentes con áreas iguales en las que se puede dividir un cuadrado?

Answer 1

Creo que esto es imposible.

• Supongamos tamaños enteros para los sub-rectángulos
• Deje que haya N rectángulos en la solución y el área de cada sub rectángulo en la solución sea A
• Deje que cada rectángulo tenga dimensiones Xn * Yn para n = 1 a N

Por lo tanto, se reduce a decir que debe haber n pares distintos de números, cada uno de cuyos productos es A
Esto es obvio para que X e Y sean enteros.
Trivialmente, podemos ver que N no puede ser 1, 2 o 3

Cualquier N debe dividir S ^ 2 de manera uniforme, por lo que para S ^ 2 = 225, tenemos los factores
5, 9, 15, 45, 75, 225: N solo puede estar dentro de este conjunto y (descartamos los factores 1, 3)

Para cada posible N arriba tenemos A = 225 / N o 1, 3, 5, 9, 15, 45
Descartamos A = 1 porque estamos trabajando con enteros, por lo que A = 1 es un cuadrado.

Eso nos deja con 75, 45, 15, 9 y 5 números de rectángulos de las áreas 3, 5, 9, 15 y 45.

Simplemente no hay suficientes factores para que ninguna de las áreas tenga una solución para S = 15.

Para cualquier posible A, necesita tener N diferentes pares de factores que se multipliquen por A.
Dado que cualquier número Q tiene como máximo [matemáticas] 2 \ sqrt Q [/ matemáticas], N tiene que ser menor que [matemáticas] \ sqrt A [/ matemáticas]

Tengo el vago presentimiento de que este tipo de división nunca se puede hacer para ningún cuadrado:

Si se puede hacer para un cuadrado, se puede hacer para cualquier cuadrado, simplemente escalando. Como no es posible para S = 15, con longitudes de enteros, no parece probable una solución de enteros.

Anexo: Lo anterior no prueba que no haya una solución entera, cuando se me ocurre.

Pero, si hay alguna solución con números racionales, entonces hay una solución con números enteros.

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Pensando en ello desde otra perspectiva, parece diferente a este tipo de caso patológico para n = 5

Me parece que no hay una configuración de mosaico que no tenga dos rectángulos que compartan ancho o alto, lo que significa que tienen que compartir ambas dimensiones ya que el área es la misma para ambos.

Por lo tanto, parece que si hay una solución con n = 5, puede subdividir cada uno de los 5 en 5 más de una manera similar para que n pueda ser 5, 25, 125 y así sucesivamente. Nada más funcionaría.

¿Alguien puede mostrarme un mosaico que no sea n = 5 donde las dimensiones no se comparten?

Anexo 2:

Una vez más, n = 5 parece ser el n más pequeño, pero uno puede dividir cualquiera (y no necesariamente todo como dije anteriormente) del 5 en 5 nuevamente y reorganizar las cosas para que las áreas sean iguales.

Answer 2

Creo que la respuesta es [matemáticas] n \ geq 5 [/ matemáticas].

(No sé cómo dibujar diagramas, así que usemos el diagrama de Vivek). Deje que el rectángulo central sea [matemática] 1 \ veces r [/ matemática], donde [matemática] r> 1 [/ matemática] se debe arreglar más adelante. Los rectángulos tienen un área o [math] r [/ math]. Deje que el rectángulo a la izquierda sea [matemática] \ alpha \ times \ frac {r} {\ alpha} [/ matemática], donde [matemática] \ alpha> 1 [/ matemática] (consideración de longitud y área). Esto significa que el rectángulo hacia arriba debe ser [matemático] (\ alpha-1) \ times \ frac {r} {\ alpha-1} [/ math] (consideración de longitud y área). Y, por lo tanto, el rectángulo a la derecha debe ser [matemática] \ frac {\ alpha-1} {2- \ alpha} \ times \ frac {r (2- \ alpha)} {\ alpha-1} [/ math] (/ math] ( longitud y área de consideración). Y por lo tanto, el rectángulo hacia abajo es (solo consideración de longitud) [matemática] \ frac {2 \ alpha – 3} {2- \ alpha} \ times \ frac {r (\ alpha + 1)} {\ alpha} [/ matemáticas].

Requerimos [math] \ frac {3} {2} <\ alpha <2 [/ math], para asegurar que los rectángulos tengan una longitud positiva (y por lo tanto sobresalen como se muestra en la imagen).

La consideración del área para el rectángulo inferior también nos da [math] \ frac {2 \ alpha – 3} {2- \ alpha} \ times \ frac {r (\ alpha + 1)} {\ alpha} = 1 [/ math ] Podemos ver que existe una solución [matemática] r [/ matemática]. Queda por comprobar que las longitudes son todas distintas, lo cual admitiría que no lo he hecho. Sin embargo, no se permiten muchos valores finitos al igualar 2 dimensiones, por lo tanto, tenemos garantizada una solución.

Ahora, demostremos que [math] n \ geq 5 [/ math] siempre se puede lograr. La idea es que simplemente extendamos el rectángulo agregando un rectángulo apropiado alternativamente en toda la longitud o el aliento completo. En el caso de que el rectángulo no sea único, podemos cambiar el valor de [math] \ alpha [/ math] en el párrafo anterior. Como antes, cada vez solo se permiten muchos valores finitos, por lo tanto (creo) que podemos encontrar una solución para cada [matemática] n [/ matemática].

Ahora, demostremos que 5 es el mínimo.

Primero considere dónde está el rectángulo con el ancho más pequeño (y, por lo tanto, la longitud más larga es).

Si no toca el lado del rectángulo original, necesita al menos 1 rectángulo tocando cada uno de sus lados, por lo que hay al menos 5 rectángulos.

Si el ancho más corto está contra un lado del rectángulo (pero no involucra una esquina, entonces necesita al menos 2 rectángulos a cada lado (de hecho, mucho más que 2), por lo que hay al menos 5.

Si la longitud más larga está contra un lado del rectángulo (pero no involucra una esquina), entonces la longitud requiere al menos 2 rectángulos, y los anchos requieren al menos 1 cada uno, por lo que hay al menos 5.

Si está contra una esquina del rectángulo original, pero no tiene un largo o ancho completo, necesitará al menos 1 rectángulo a su lado y al menos 3 rectángulos (anteriormente solo usábamos 2, pero es fácil demostrar que necesitamos mucho más de 2) que se desarrollan a partir de la longitud más larga, por lo que hay al menos 5.

Si está contra un lado completo (longitud del ancho) del rectángulo, podemos eliminarlo y obtener un valor menor de [math] n [/ math]. Por lo tanto, este caso no produce el número mínimo de rectángulos.

Answer 3

n = 5 caso
Independientemente encontré esto al simplificar el caso n = 7
como Vivek lo ha dibujado: A, B, C, D son rectángulos delgados alrededor de la periferia, y E es el rectángulo interno.
Cada rectángulo tendrá un área s² / 5
Rotula el lado más largo de cada rectángulo x_i y su grosor t_i.
Obviamente x_i * t_i = (s² / 5). Y 1 ≥ x_i> t_i ≥ 1/5
Entonces:
x_A + t_B = s
x_B + t_C = s
x_C + t_D = s
x_D + t_A = s
y el rectángulo E es más alto que ancho:
x_E = s – t_B – t_D por lo tanto ≤ s (1 – 1/5 – 1/5) = 3s / 5
t_E = s – t_A – t_C por lo tanto ≤ s (1 – 1/5 – 1/5) = 3s / 5

Ahora que lo pienso, simplemente transforme todas las variables w → w ‘= w / s (reducir en 1 / s, eso elimina s en todas partes):
Ahora x_E ≤ 3/5 y
x_A = (1 – t_B) = 1 / 5t_A
x_B = (1 – t_C) = 1 / 5t_B
x_C = (1 – t_D) = 1 / 5t_C
x_D = (1 – t_A) = 1 / 5t_D
Las {x_i} son todas variables dependientes y pueden eliminarse.

Ahora requerimos que cada una de las {x_i} y {t_i} sean distintas, así que imponga arbitrariamente
t_A x_A> x_B> x_C> x_D
y x_E> t_E
Como x_E * t_E = 1/5, y x_E> t_E (no puede ser cuadrado), obtenemos las restricciones
x_E> 1 / √5 = 0.44721 …
Por lo tanto:
0.6> x_E> 0.44721 …

t_E <1 / √5
Por lo tanto, propagando eso a las restricciones en E:
t_A + t_C = 1 – x_E <1 - (1 / √5) ≈ 0.5527864…
t_B + t_D = 1 – t_E> 1 – (1 / √5) ≈ 0.5527864…

y el resto es elegir valores que satisfagan todas estas restricciones.
(y en fracciones de decimoquinta si desea hacer tantas dimensiones enteras como sea posible, en el caso s = 15).

Dado que el rectángulo central E es el más estrictamente restringido, parece más fácil elegir primero las dimensiones factibles para él:
x_E = 8/15
t_E = 3/8

Propagando en:
t_A + t_C = (1 – x_E) = 7/15
t_B + t_D = (1 – t_E) = 5/8
…

n = 7 caso
Cada rectángulo tendrá un área s² / 7
Corte un rectángulo exterior con lados (s, s / 7) y luego uno ortogonal con lados (6s / 7, s / 6). Luego mosaico como el caso n = 5.

Answer 4

La respuesta es 3. Un cuadrado de 6 × 6 se puede dividir en un rectángulo de 2 × 6 y dos rectángulos de 3 × 4. El rectángulo 2 × 6 no es congruente con ninguno de los rectángulos 3 × 4.