Bueno, yo diría “controvertido” en lugar de “popular”.
Es porque es demasiado fácil formar una solución incorrecta basada únicamente en la intuición. A todos nos gustaría creer que nuestra intuición es correcta, y que la intuición de los demás debe estar equivocada cuando no está de acuerdo con la nuestra. Por eso defendemos vociferadamente nuestras soluciones incorrectas.
En este caso, hay dos soluciones intuitivas diferentes y producen respuestas diferentes. Una es la respuesta correcta. Eso no hace que la solución sea correcta. Sus defensores defienden a ambos apelando a la corrección de la intuición, no a las matemáticas o la lógica real. Esta es la controversia que llamaron “popularidad”.
Destacaré las partes que se basan en la intuición:
- ¿Cuáles son las diferentes versiones del rompecabezas de tres sombreros?
- Si la respuesta perfecta (P = 50) es conocida solo por usted y usted es el árbitro entre dos oponentes, (A) está respondiendo (60), (B) está respondiendo (10), ¿cuál sería su juicio?
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- Hay dos puertas cuyos premios permanecen ocultos. El automóvil tenía la misma probabilidad de ser colocado detrás, por lo que todavía es igualmente probable que esté detrás. Cada uno tiene ahora un 50% de probabilidades de tener el automóvil.
- Su probabilidad inicial fue del 33.3%. Como Monty Hall siempre puede abrir una puerta sin el automóvil, esto no puede cambiar. Su puerta todavía tiene una probabilidad del 33.3%, por lo que la otra tiene una probabilidad del 66.7%.
“Todavía es igualmente probable” es incorrecto porque obtuvimos información sobre una de las dos puertas; a saber, que Monty Hall podría haber podido llegar a la puerta a la que nos cambiaríamos. No lo hizo, pero podría haberlo hecho. Nuestra intuición no parece permitirnos considerar cómo “lo que pudo haber sucedido, pero no sucedió”, podría ser importante, pero tiene una probabilidad condicional.
“Esto no puede cambiar” está mal porque, bueno, sí puede. Pero solo si Monty Hall es parcial. Digamos que eliges el # 1, y sabes de alguna manera que Monty Hall siempre abrirá la puerta con el número más bajo que pueda. Si lo ve abrir la Puerta # 3, entonces sabe con certeza que el automóvil está detrás de la Puerta # 2. Si no fuera así, Monty habría abierto esa puerta.
No tenemos ninguna razón para sospechar que Monty está sesgado de esta manera, pero eso no justifica ignorar cómo impulsa la solución correcta. Afirmar que “no puede cambiar” sigue siendo una apelación a la intuición, y está mal. Aquellos que optan por la primera solución intuitiva no la aceptan, incluso si no pueden verbalizar por qué. Resultado: controversia.
Solución correcta, basada en la probabilidad condicional: si originalmente elegiste una puerta de cabra, solo había una puerta que Monty Hall podía abrir; es decir, el que lo viste abrir. Si eligió la puerta del automóvil, había dos, y debe “descontar” la probabilidad de este caso para tener en cuenta la posibilidad de que él hubiera abierto la otra puerta. Aunque sabes que no sucedió. Así es como funciona la probabilidad condicional: elimina lo que pudo haber sucedido, pero no sucedió, de la consideración.
Por lo tanto, es dos veces más probable que se encuentre en la primera situación que en la segunda, y debe cambiar de puerta.
Leccion de historia:
El problema tiene varios predecesores, el más famoso de los cuales es probablemente el Problema de los Tres Prisioneros. Fue presentado en forma de programa de juegos por Steve Selvin, en una carta en la revista American Statistician, pero de una manera muy diferente. Monty Hall no ofreció el cambio, algo que nunca sucedió en el programa de juegos. En cambio, estaba ofreciendo (como lo hacía con frecuencia) “comprar” el premio desconocido del concursante, y fue el concursante quien preguntó si podía cambiar.
Una controversia adicional surge del hecho de que, como muchos problemas de probabilidad, es necesario hacer ciertas suposiciones sobre lo que no se dijo explícitamente. Y debido a que ya existe controversia, la gente siempre parece criarlos de manera poco realista para que puedan aumentarlo. Por ejemplo, “¿y si prefiere las cabras a los autos deportivos?”
El ejemplo más famoso de esto es un artículo pedante (en mi opinión) de cuatro profesores universitarios. Señalan, correctamente, que la versión de Marilyn vos Savant para el problema no pedía la probabilidad de que ganaras, solo si mejoraría si cambiabas. No es necesario suponer que Monty Hall es imparcial, como discutí anteriormente, para responder eso. Sus posibilidades son al menos tan buenas, después de cambiar, sin importar cuál sea su sesgo.
Pero no es irracional establecer una probabilidad, y la suposición de que Monty Hall es imparcial es perfectamente razonable. El documento es pedante, en mi opinión, porque hay varios otros supuestos de naturaleza similar que hicieron pero ignoraron que están haciendo. Tales como “el automóvil se coloca con probabilidad uniforme”. Si trataran esa suposición de la misma manera, sus conclusiones serían inválidas.
