En primer lugar, en caso de que aún no lo haya hecho, es importante darse cuenta de que el cubo consta de 26 cubos más pequeños. Las piezas de borde y esquina giran alrededor de las piezas centrales, que nunca cambian de posición una con respecto a la otra, solo giran alrededor de sus ejes fijos. Esto queda claro si desarma el cubo, ya que debería quedarse con algo como esto:
Por lo tanto, podemos excluirlos del cálculo de permutaciones.
Obviamente, las piezas de borde y esquina solo pueden reemplazarse entre sí, ya que son formas completamente diferentes, por lo tanto, podemos calcular sus permutaciones por separado.
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Hay 12 piezas de borde, lo que significa que podemos organizarlas físicamente en [matemáticas] 12! [/ Matemáticas] (para cada una de las doce que elija primero, tiene once para elegir después, luego diez … etc.). Sin embargo, como cada uno tiene dos caras y, por lo tanto, se pueden organizar de una de dos maneras.
Por lo tanto, multiplicamos la multiplicación de cada componente del factorial por 2, ¡llegando a [matemáticas] 12! \ cdot 2 ^ {12} [/ matemáticas].
Sin embargo, es posible que observe que cambiar por la fuerza la orientación de un borde de un cubo que de otro modo no se hubiera tocado hace que sea imposible de resolver. Del mismo modo, si define las primeras 11 permutaciones como orientaciones particulares, para que el cubo permanezca en el conjunto de cubos naturales (es decir, permanezca solucionable), la pieza final tiene un valor establecido y, por lo tanto, no cuenta como una permutación. ¡Por lo tanto, las permutaciones de las piezas de borde permanecen en [matemáticas] 12! \ cdot 2 ^ {11} [/ matemáticas].
Para las piezas de esquina, hay 8 de ellas, cada una de las cuales ofrece 3 permutaciones rotacionales diferentes, por lo que pensarías que las permutaciones totales serían [matemáticas] 8! \ cdot 3 ^ 8 [/ math], pero nuevamente tenemos que tener en cuenta ciertas restricciones.
En primer lugar, intercambiar dos piezas de esquina significa que necesitamos intercambiar cualquiera de las otras dos piezas de borde de las piezas de esquina, para mantener el cubo solucionable. Además, al igual que con las piezas de borde, si se establecen las primeras 7 orientaciones, entonces la orientación de la pieza final tiene un valor definido, a fin de mantener la “solubilidad”. Por lo tanto, el número real de permutaciones de esquina es [matemática] (\ frac {1} {2}) 8! \ cdot 3 ^ 7 [/ matemáticas].
Al reunir todos estos factores y (por supuesto) multiplicarlos, nos deja con:
[matemáticas] permutaciones = 12! \ cdot 2 ^ {11} \ cdot (\ frac {1} {2}) 8! \ cdot 3 ^ 7 = 43.252.003.274.489.856.000 [/ matemáticas]
Hicimos muchos “supuestos” (en realidad no son supuestos, ya que han sido probados matemáticamente), que también podrían hacer juntos al final, si no desea probarlos individualmente.
Puede, por ejemplo, resolver las permutaciones ignorando los otros factores que mencioné:
[matemáticas] 12! \ cdot 2 ^ {12} \ cdot 8! \ cdot 3 ^ 9 = 519,024,039,293,878,272,000 [/ matemáticas]
.. y luego, solo tiene que aceptar que hay 12 conjuntos de permutaciones, entre las cuales un cubo solo puede viajar alterando las orientaciones, no simplemente mezclando. Por lo tanto, para encontrar el conjunto que se resuelve en un estado en el que todos los colores se alinean, divida ese [math] 512 \ cdot10 ^ {18} [/ math] entre 12.
Numberphile hizo un buen video sobre este tema exactamente: 43.252.003.274.489.856.000 Combinaciones de cubos de Rubik – Numberphile
nota: según tengo entendido, aquí realmente deberíamos describir cada conjunto único como una permutación : una lista ordenada. El uso de la combinación (una lista desordenada) implicaría que cada conjunto era idéntico, ya que la estructura del cubo depende del orden de sus piezas.