[matemáticas] \ bf \ text {Las probabilidades en espiral de la ruleta rusa del grupo.} [/ matemáticas]
Suponga que organiza un tiroteo, donde en cada ronda, cada candidato selecciona a otro candidato que será eliminado. Tenga en cuenta que en cada ronda, todas las ‘ejecuciones’ se llevan a cabo sincrónicamente.
Después de la ronda final, o el banco gana porque todos están “muertos”, o el último hombre en pie gana el bote.
Entonces, ¿cuáles serán las probabilidades de los bancos para un gran número de competidores?
Grupos pequeños
[matemáticas] \ color {verde} {n = 0} [/ matemáticas]: sin ningún competidor, el banco gana directamente porque no hay sobrevivientes.
[matemáticas] \ color {rojo} {n = 1} [/ matemáticas]: con solo un competidor, el banco pierde porque tiene un ganador.
[matemática] \ color {verde} {n = 2} [/ matemática]: ahora nuevamente el banco gana: hay una muerte mutua garantizada en la próxima ronda.
[matemáticas] \ color {rojo} {n = 3} [/ matemáticas]: lo más probable es que el banco pierda, porque tenemos una posibilidad de [matemáticas] del 25% [/ matemáticas] de que tengamos una eliminación cíclica (el banco gana), y una probabilidad de [matemáticas] del 75% [/ matemáticas] de que dos personas mueran (el banco pierde).
Esto da como resultado la siguiente tabla:
[matemáticas] \ begin {array} {cc} \ text {Tamaño del grupo} & \ text {El banco gana} \\ \ hline \ color {green} {n = 0} & \ color {green} {100 \ text {% }} \\ \ color {red} {n = 1} & \ color {red} {0 \ text {%}} \\ \ color {green} {n = 2} & \ color {green} {100 \ text {%}} \\ \ color {red} {n = 3} & \ color {red} {25 \ text {%}} \\ \ color {red} {n = 4} & \ color {red} {40 \ text {%}} \\ \ color {green} {n = 5} & \ color {green} {53 \ text {%}} \\ \ color {green} {n = 6} & \ color {green} {58 \ text {%}} \\ \ color {green} {n = 7} & \ color {green} {56 \ text {%}} \\ \ color {green} {n = 8} & \ color { verde} {51 \ text {%}} \\ \ color {red} {n = 9} & \ color {red} {47 \ text {%}} \\ \ Large \ color {red} {\ cdots} & \ Large \ color {red} {\ cdots} \\ \ Large \ color {red} {\ cdots} & \ Large \ color {red} {\ cdots} \\ \ Large \ color {green} {\ cdots} & \ Large \ color {green} {\ cdots} \\ \ Large \ color {green} {\ cdots} & \ Large \ color {green} {\ cdots} \\ \ Large \ color {red} {\ cdots} & \ Large \ color {red} {\ cdots} \\ \ end {array} [/ math]
Es de esperar que estas oscilaciones desaparezcan por aumentar el tamaño del grupo, sin embargo, sorprendentemente este no es el caso: en 2015, tres matemáticos holandeses mostraron cómo las probabilidades de los bancos siguen oscilando hasta el infinito:
Regiones verdes, el banco ganará, regiones rojas: el banco perderá. Adaptado de: http://arxiv.org/pdf/1507.03805v …
A continuación intentaré dar una explicación visual de este curioso fenómeno.
Los valores esperados
Primero tenga en cuenta que en un grupo grande, un individuo tiene la posibilidad de [matemáticas] \ frac 1 e [/ matemáticas] de sobrevivir a la ronda actual. Entonces, para una ronda con [matemática] n = 42 [/ matemática] competidores, probablemente habrá sobrevivientes [matemática] n = 15 [/ matemática]. Esto se visualiza a continuación para tamaños de grupo moderados:
Los resultados más probables para las rondas de tiro se visualizan mejor organizando los números de grupo en una espiral, en la que cada número de bobinado crece con el factor [matemática] e [/ matemática] ( [matemática] \ aprox 2.71 [/ matemática] ).
Probabilidades en espiral
Si desea calcular la probabilidad de que el banco gane para un tamaño de grupo de [matemática] n = 6 [/ matemática], simplemente puede tomar el promedio ponderado de las probabilidades para los tamaños de grupo [matemática] n = \ {0,1 , 2,3,4,5 \} [/ matemáticas]. Los pesos son simplemente las probabilidades de ir a ese nuevo tamaño de grupo.
El eje vertical de la figura a continuación (imagen central) muestra este promedio ponderado para un tamaño de grupo de seis. La probabilidad de que el banco gane es ligeramente superior a 0.5, principalmente porque probablemente habrá dos sobrevivientes, y el banco gana:
El eje horizontal se agrega solo para fines de visualización, ya que permite mostrar las probabilidades como una estructura en espiral hacia adentro (ver la figura de la derecha arriba).
Para iniciar esta espiral, solo tuve que desplazar los nodos {0,1,2,3,4,5} horizontalmente, de modo que formen una forma espiral (figura izquierda arriba). El resultado es que el sexto nodo continuará automáticamente este patrón en espiral, ya que su posición en este gráfico es el promedio ponderado de los nodos anteriores. La iteración de este proceso para el nodo {7,8,9 …} genera automáticamente una espiral infinita hacia adentro (parte derecha de la figura anterior).
Los devanados con números más altos están incrustados en los devanados con números más bajos.
La iteración de este proceso hasta un tamaño de grupo de ([matemática] n = 50 [/ matemática]), muestra la formación de un nuevo devanado en la espiral. NB: es la misma oscilación representada en la figura del artículo, solo un eje adicional (sin sentido), para visualizar esto como una espiral, en lugar de una oscilación sinusoidal. Así como se puede representar un seno con una parametrización de círculo unitario.
Cada nuevo devanado está incrustado en el devanado anterior, ya que las posiciones de los números más altos son un promedio ponderado de las probabilidades para los números más bajos.
Finalmente, el radio de los devanados se volverá constante.
Mientras que el nodo 50 todavía está influenciado por los nodos en el lado opuesto del devanado, para el nodo 377 (representado a continuación) esta influencia ya es insignificante. Solo los nodos en la mitad superior del devanado anterior tienen un peso significativo:
Para grupos muy grandes (p. Ej. 377), las probabilidades del banco solo están influenciadas por el arco superior del devanado anterior. A medida que el rango angular del que depende un número tan alto se vuelve cada vez más pequeño, los devanados para números más altos eventualmente coinciden.
Formalmente, esto se explica de la siguiente manera: mientras que la incertidumbre absoluta en el número de sobrevivientes aumenta para grupos de mayor tamaño (con [math] \ sqrt {n} [/ math]), el espacio angular entre los números vecinos disminuye en cambio con [math] \ frac {1} {n} [/ matemáticas]. Como resultado, la incertidumbre angular de una ronda de eliminación específica es en realidad más baja para grupos más grandes, y es proporcional a [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {n}} [/ matemática].
Para tamaños de grupo extremadamente grandes, la posición en este gráfico 2D solo será una muestra de una sección angular muy pequeña del devanado anterior. Cuanto más pequeño sea el ángulo de este segmento de arco, mayor será la apariencia lineal de este segmento. Y dado que un promedio ponderado de un segmento lineal se encuentra en ese segmento lineal en sí, estos devanados coincidirán en la práctica para números altos, produciendo una oscilación infinita.
Conclusión
Entonces, para organizar un juego de ruleta rusa, es mejor comenzar con un tamaño de grupo fijo que se encuentre en la parte superior de cada devanado, como {50, 135, 365, …} (o cualquier otro número entero que esté cerca de [matemáticas] e ^ {k + 0.9} [/ matemáticas]). Luego, a la larga, probablemente obtendrá ganancias, según estos tres holandeses (y los holandeses no bromean sobre el dinero).
Tim van de Brug, Wouter Kager y Ronald Meester. “Las asíntotas de la ruleta rusa grupal” http://arxiv.org/pdf/1507.03805v …
PD: Esta respuesta no refleja el contenido del documento referido. Solo he explicado la oscilación, un fenómeno que también se observa cuando los contendientes lanzan una moneda para determinar si sobreviven a la siguiente ronda. Sin embargo, el documento ofrece una prueba rigurosa del comportamiento asintótico del juego de la ruleta rusa, que es mucho más complicado que el juego de lanzar monedas.
