Llama al azar a una familia con dos niños y pregunta si hay un niño llamado Tom. La respuesta es sí. ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga dos hijos?

Answer 1

Como Anders Kaseorg comentó sobre la respuesta de Amit Gupta, “dado que uno de ellos es un niño” es muy diferente de “dado que uno de ellos se llama Tom”. Se puede suponer que una familia con dos niños tiene el doble de posibilidades de tener un niño llamado Tom como familia con un niño y una niña. Entonces, las posibilidades igualmente ponderadas en orden de nacimiento son

TB – dos niños
BT – dos niños
TG – un niño
GT – un niño

donde B representa a un niño no llamado Tom. La probabilidad de que haya dos niños dado que uno se llama Tom es 2/4 = [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas].

Por ejemplo, supongamos que hay 1 millón de familias con 2 hijos cada una, y el 1% de los niños se llaman Tom pero nunca dos veces en la misma familia. Supongamos que esto se logra al poner 100 nombres de niños en un sombrero, que se dibujan sin reemplazo para nombrar a los niños de una familia. Entonces, los recuentos pueden verse así:

GG – 250,000
GB – 247,500
GT – 2,500
BG – 247,500
BB – 245,000
BT – 2,500
TG – 2,500
TB – 2,500
TT – 0

Hay 10,000 familias para que un niño se llame Tom. Esto incluyó 5,000 familias BT y TB con dos niños, y 5,000 familias TG y GT, lo que confirma que la probabilidad es 5000/10000 = 1/2.

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Sería diferente si el nombre de Tom solo se le diera a los hijos mayores. Por ejemplo, si muestra familias donde el padre se llama Tom, puede ser común nombrar al primer hijo Tom (Junior), incluso si este niño tiene una hermana mayor, pero no el segundo hijo. En ese caso, podríamos descartar BT, y luego la probabilidad podría ser 1/3. (Sin embargo, un padre llamado Tom podría no tener una probabilidad de 1/100 de nombrar a su primer hijo Tom). Si el nombre Tom tendía a ser dado al hijo mayor, pero no exclusivamente, entonces la probabilidad podría estar entre 1/3 y 1/2.

Otra forma de verlo es con información. Supongamos que pregunta: “¿Tom es el primogénito?” Y la respuesta es sí. ¿Tienes alguna información sobre el sexo del segundo hijo? No, nombrar a su primer hijo Tom no lo hace más o menos probable que 1/2 de tener un niño como su segundo hijo. ¿Qué tal si la respuesta es no, que Tom no era el primogénito? Esto es un poco más complicado. Si tenía una regla de nomenclatura de que Tom solo podía ser el nombre del hijo mayor, entonces el hermano mayor de Tom debe ser una niña. Sin embargo, si asume que hay 100 nombres de niños que se seleccionan sin reemplazo para nombrar a ningún hijo, entonces aún no obtiene información sobre el sexo del primer hijo dado que el segundo se llama Tom o cualquiera de los nombres del otro niño , por simetría. Dado que en cualquier caso, el hermano de Tom tiene una probabilidad de 1/2 de ser un niño, la probabilidad de que la familia tenga dos hijos es de 1/2.

Por supuesto, hay muchas suposiciones leves anteriores, como que ninguna niña se llama Tom, que el sexo de un niño es independiente del sexo de un hermano (violado en esta pregunta), que la probabilidad de un niño es 1 / 2, que las familias no llamarían a ambos niños Tom (obtendría una respuesta diferente si los nombres se eligen de forma independiente), etc.

Por cierto, es bastante inusual que se nos dé exactamente la información de que al menos un niño de dos es un niño. Es más común recibir información mucho más específica. Eso es parte de por qué el 1/3 clásico del problema “al menos uno es un niño” es contradictorio, mientras que el 1/2 aquí es intuitivo. La probabilidad de que el hermano de Tom sea un niño es 1/2.

Answer 2

La pregunta puede reducirse a “¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene 2 hijos tenga ambos hijos dado que uno de ellos es niño (Tom)?

Simplemente tienes 4 posibilidades para 2 combinaciones de niños:
cama y desayuno
BG
GB
GG
Dado que uno de ellos es un niño, la cuarta posibilidad (GG) no es posible)
Por lo tanto, nuestro espacio muestral se reduce a (BB, BG, GB) de los cuales solo BB satisface nuestros criterios, por lo tanto, la probabilidad es (1/3).
Esta es una aplicación simple del Teorema de Bayes (teorema de Bayes)

PD: Supongo que ese niño llamado Tom es un niño y no una niña 🙂

Answer 3

Creo que la pregunta no está redactada correctamente o la información proporcionada es insuficiente. La razón es que no se menciona cuántos niños hay en la población total de la familia con dos niños, de modo que uno de ellos fue nombrado “Tom”. Entonces, la probabilidad de obtener la respuesta como “sí” no se puede encontrar.

Dejando a un lado esto simplemente asumiendo que la respuesta podría ser sí / no, la probabilidad de obtener “sí” es 0.5. Esta probabilidad se multiplicará con la probabilidad de tener dos hijos y que también ser niños solo sea 0.25 (ya que la pregunta solo garantiza si hay dos niños o no, y no se brinda otra información). Entonces, la probabilidad general será 0.5 * 0.25, es decir, 0.125.

PD: Actualice la pregunta en consecuencia.

Answer 4

La probabilidad depende de qué tan común sea el nombre Tom. Suponga que la frecuencia del nombre Tom entre los hombres es x. Entonces, la probabilidad de que una familia de dos hijos donde un niño se llama Tom tenga otro niño es (2-x) / (4-x). Esa es la respuesta.

Si x es muy pequeño con respecto a 1, es decir, si el nombre Tom no es especialmente común, entonces la respuesta es cercana (pero no exactamente igual) a 0.5. Sin embargo, si x no es insignificante con respecto a 1, es decir, si Tom es un nombre muy común, entonces la probabilidad es significativamente menor que 0.5. En el caso límite de que x = 1, es decir, si todos los hombres se llaman Tom, entonces la probabilidad es 1/3 = 0.333 …

Así es como obtienes la respuesta. Considere una pareja teniendo su primer hijo. Las probabilidades son 0.5 de que es una niña, 0.5 x que es un niño y lo llamarán Tom, 0.5 (1-x) que es un niño y lo llamarán con otro nombre. Ahora deje que la pareja tenga un segundo hijo. Si su primer hijo no se llamaba Tom, entonces las probabilidades para el segundo hijo son las mismas que para el primero. Pero si el primer niño se llamaba Tom, entonces las probabilidades son 0.5 de que el segundo niño sea una niña y 0.5 de que es un niño NO llamado Tom, porque los padres no darán el mismo nombre a ambos niños. Las probabilidades combinadas son (escribir G para niña, B para niño no llamado Tom, T para niño llamado Tom):

GG 0.25
GB 0.25 (1-x)
GT 0.25 x
BG 0.25 (1-x)
BB 0.25 (1-x) (1-x)
BT 0.25 (1-x) x
TG 0.25 x
TB 0.25 x
TT 0

Ahora calcula (BT + TB) / (BT + TB + GT + TG) y obtiene con precisión
(2-x) / (4-x)

Answer 5

Contestaré la pregunta en los términos que se dieron. Como una pregunta de entrevista.

1) No cuestionaría demasiado la premisa, ser demasiado pedante se considera negativo. En cualquier trabajo se le pedirá que responda cosas que no tienen respuesta. Lo más importante es que tenga una actitud de “poder hacer” e intente una tarea, pero comprenda sus limitaciones.

2) Indique lo obvio. Estás llamando a familias con un niño llamado Tom. Por lo tanto, su muestra elegida estaría sesgada.
Sin este sesgo, la respuesta sería trivial, es decir, 1/2 x 1/2 o 1/4 25%

3) Señale la sutileza. Que Tom no garantiza que sea un niño, pero para facilitar el cálculo asumirá p (llamado Tom) = niño = 1, pero sabe que la respuesta real será un poco más pequeña.

4) Dado que 1 hijo es hombre, la probabilidad de que el siguiente también sea hombre es 1/2, porque a todos los efectos, el sexo de un niño es independiente del primogénito.

Entonces la respuesta sería (justo debajo) 1/2

No creo que importe si esta respuesta es correcta o no, en Matemáticas, el hecho de que el proceso sea razonable es lo más importante.

En los negocios, la clave es el hecho de que tiene una respuesta funcional, con pautas sobre su precisión.

Entonces, esto ha presentado un proceso metódico y un cierto conocimiento de la probabilidad, además de una respuesta oportuna.

Answer 6

Yo diría que la probabilidad de que Tom sea un niño es el 9/10. La probabilidad de que el segundo hijo sea un niño es aproximadamente la mitad. Por lo tanto, probabilidad = 9/10 * 1/2 = 9/20.

Answer 7

50%