Como todos sabemos, la información adicional puede cambiar la probabilidad de un evento. En el problema de Monty Hall, el anfitrión le dice que una puerta no contiene el automóvil, pero esta información no cambia la probabilidad de que su elección original sea correcta (todavía es 1/3). En el “problema de la caída de Monty”, parece que se proporciona la misma información (una puerta que no contiene el automóvil), pero la probabilidad de que su elección original sea correcta aumenta a 1/2. Puede parecer contrario a la intuición, pero es perfectamente razonable considerando que la información en los dos casos es realmente muy diferente.
Considere otra variante del juego (que llamaría el “pequeño problema de Monty”), donde el anfitrión solo abriría otra puerta si ha elegido la puerta con el automóvil (un intento desesperado por hacer que cambie de opinión). Suponga que el anfitrión abre una puerta. ¿Es esta información (una puerta que no contiene el automóvil) la misma que en el problema de Monty Fall? Por supuesto no. Aunque “abrir una puerta que no contiene el automóvil” es común a los problemas de Monty Hall / Fall / Small, se brinda mucha más información cuando se abre una puerta en el problema de Monty Small, ya que esto significaría que su elección original es realmente correcta. Podemos ver en este ejemplo que, aparte del resultado de la información adicional dada (si se abre una puerta / qué puerta abre el host), también es importante la forma en que se genera el resultado. En realidad, la información reside en el método de generar el resultado, no en el resultado en sí .
Echemos un vistazo a la información dada en cada caso:
- Problema de Monty Hall
El anfitrión abre una puerta sin automóvil, pase lo que pase. Todos sabemos que si un evento A sucederá seguramente (o tiene la misma probabilidad de que ocurra) sin importar si condicionamos o no el evento B, entonces A y B son independientes. No importa si la elección original es correcta, el anfitrión abrirá una de las otras dos puertas con la misma probabilidad (ya que no puede distinguirlas). Esta información es independiente de su elección original y no afectará la probabilidad de que su elección original sea correcta (todavía es 1/3). La probabilidad de que cambiar su elección le haga ganar un automóvil es 2/3.
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- Problema de la caída de Monty
El anfitrión abriría una de las otras dos puertas al azar, no siempre abre una puerta sin automóvil. Puede abrir accidentalmente una puerta con un automóvil (y pierde su trabajo). Incluso si resulta que se abre una puerta sin automóvil, el hecho de que la puerta con un automóvil no se abra es información que no puede ignorar. Si su elección original es correcta, entonces el anfitrión no abrirá la puerta con un automóvil (su elección). Si su elección original es incorrecta, el anfitrión abrirá la puerta con un automóvil con una probabilidad de 1/2. Podemos ver que es más probable que el anfitrión abra una puerta sin un automóvil si su elección original es correcta y, por lo tanto, si sabemos que el anfitrión ha abierto una puerta sin un automóvil, es más probable que su elección original sea correcto (por el teorema de Bayes). La probabilidad de que su elección original sea correcta aumentaría a 1/2.
En resumen, esta paradoja es causada por un malentendido de lo que es la información . La información dada cuando el anfitrión grita “¡La puerta 3 contiene una cabra!” es de la misma naturaleza que “I love apple!”. Ambos son solo un resultado particular de un proceso detrás de él. Parece que podemos interpretar la frase “¡La puerta 3 contiene una cabra!” fuera del contexto de cómo se llega, simplemente porque tiene sentido para nosotros en el entorno actual (mientras que “¡Amo la manzana!” no tiene ningún sentido). Si entendemos cómo se le ocurre al anfitrión “¡Amo la manzana!” (digamos que esto sucede solo cuando su elección original es correcta), entonces esta frase aparentemente irrelevante se convertiría en algo que no puede ignorar. Una vez más, es la forma de generar el resultado lo que es relevante, no el significado literal del resultado en sí.