¿Por qué la respuesta al problema de Monty Hall difiere del problema de “Monty Fall”? ¿Cuál es la explicación intuitiva para esto?

Como todos sabemos, la información adicional puede cambiar la probabilidad de un evento. En el problema de Monty Hall, el anfitrión le dice que una puerta no contiene el automóvil, pero esta información no cambia la probabilidad de que su elección original sea correcta (todavía es 1/3). En el “problema de la caída de Monty”, parece que se proporciona la misma información (una puerta que no contiene el automóvil), pero la probabilidad de que su elección original sea correcta aumenta a 1/2. Puede parecer contrario a la intuición, pero es perfectamente razonable considerando que la información en los dos casos es realmente muy diferente.

Considere otra variante del juego (que llamaría el “pequeño problema de Monty”), donde el anfitrión solo abriría otra puerta si ha elegido la puerta con el automóvil (un intento desesperado por hacer que cambie de opinión). Suponga que el anfitrión abre una puerta. ¿Es esta información (una puerta que no contiene el automóvil) la misma que en el problema de Monty Fall? Por supuesto no. Aunque “abrir una puerta que no contiene el automóvil” es común a los problemas de Monty Hall / Fall / Small, se brinda mucha más información cuando se abre una puerta en el problema de Monty Small, ya que esto significaría que su elección original es realmente correcta. Podemos ver en este ejemplo que, aparte del resultado de la información adicional dada (si se abre una puerta / qué puerta abre el host), también es importante la forma en que se genera el resultado. En realidad, la información reside en el método de generar el resultado, no en el resultado en sí .

Echemos un vistazo a la información dada en cada caso:

En resumen, esta paradoja es causada por un malentendido de lo que es la información . La información dada cuando el anfitrión grita “¡La puerta 3 contiene una cabra!” es de la misma naturaleza que “I love apple!”. Ambos son solo un resultado particular de un proceso detrás de él. Parece que podemos interpretar la frase “¡La puerta 3 contiene una cabra!” fuera del contexto de cómo se llega, simplemente porque tiene sentido para nosotros en el entorno actual (mientras que “¡Amo la manzana!” no tiene ningún sentido). Si entendemos cómo se le ocurre al anfitrión “¡Amo la manzana!” (digamos que esto sucede solo cuando su elección original es correcta), entonces esta frase aparentemente irrelevante se convertiría en algo que no puede ignorar. Una vez más, es la forma de generar el resultado lo que es relevante, no el significado literal del resultado en sí.

Esto sucede porque, cuando recibe nueva información, debe tener en cuenta no solo lo que le han dicho, sino también qué circunstancias lo llevan a que se lo cuenten. Es algo así como la diferencia (espero que no comiencen las guerras de llamas aquí) entre ver análisis políticos en PolitiFact versus en CNN o Fox News. (Esto es una simplificación excesiva, pero el punto es que CNN y Fox tienen más probabilidades de brindarle cierta información que otros, pero PolitiFact [con suerte] no discriminará. Lo siento si eso no hace flotar su barco).

Ponte en el problema de Monty Hall por un segundo. Eliges la puerta n. ° 1 y el anfitrión abre la puerta n. ° 3, con una cabra detrás. Si el auto está detrás de la puerta # 2, entonces la única opción de Monty era abrir la puerta # 3. Pero si originalmente hubiera elegido el automóvil, podría haber abierto la puerta n. ° 2 o la puerta n. ° 3, cada una con una probabilidad de 1/2. [1] Es decir, es más probable que vea la puerta # 3 abrirse y revelar una cabra en mundos donde el automóvil está detrás de la puerta # 2 que en mundos donde el automóvil está detrás de la puerta # 1. Esta es la misma lógica que va detrás del principio de elección restringida en el puente del contrato; es más probable que veas a alguien hacer una elección determinada (en este caso, sobre qué carta jugar) si tiene menos opciones para elegir. Esta es la verdadera razón por la cual cambiar en Monty Hall proporciona una ventaja; los eventos que ve es más probable que ocurran si el cambio le da el auto.

Este no es el caso en Monty Fall. En efecto, hay dos opciones binarias que el anfitrión hace: abrir la puerta o no abrir la puerta, y abrir la puerta con el automóvil o no abrir la puerta con el automóvil, cada una de las cuales se divide en una opción con probabilidad 2 / 3 y uno con probabilidad 1/3. Llame a estos eventos Abre el suyo (OY), Abre otro (OO), Abre el automóvil (OC), Abre la cabra (OG). OY / OC tiene probabilidad 1/9, OY / OG tiene probabilidad 2/9, OO / OC tiene probabilidad 2/9, OO / OG tiene probabilidad 4/9. Resulta que aterrizaste en OO / OG. Pero el mismo razonamiento que el anterior no se aplica, porque Monty no tenía más probabilidades de abrir la puerta n. ° 3 cuando la puerta n. ° 2 contenía el automóvil; antes, era su única opción, pero ahora era una de las tres igualmente probables. Simplemente no lo has visto elegir a los otros dos. Dado que la apertura de la puerta n. ° 3 de Monty Fall fue independiente de la puerta por la que estaba inicialmente el automóvil, no se puede usar para razonar sobre qué puerta estaba inicialmente detrás del automóvil. Ahora solo tienes una posibilidad de ganar. Para continuar con la analogía del puente, es como si supieras que Jack y Queen of Spades están fuera y uno de tus oponentes baraja su mano y al azar arroja el Jack. Ver el Jack no es menos probable que ocurra en mundos donde tu oponente también tiene la Reina, a diferencia de antes.

¿A dónde fue la probabilidad “perdida”? ¡Pasó a otras situaciones posibles, pero no realizadas! Hubo una probabilidad de 1/3 de que Monty abriera la puerta con el auto y usted ganaría con probabilidad 1 simplemente cambiando a esa puerta, para un total de 1/3 de probabilidad de ganar. Había una probabilidad de 2/9 de que Monty abriera tu puerta y revelara una cabra, y hubieras tenido 1/2 oportunidad de adivinar la puerta correcta, para un total de 1/9 de probabilidad de ganar. Y había una probabilidad de 4/9 de que Monty abriera una puerta diferente con una cabra y luego una probabilidad de 1/2 de que adivinaras la puerta restante correcta, para un total de 2/9 de posibilidades de ganar. Todas estas posibilidades de ganar suman 2/3, por lo que si tienes la opción de jugar Monty Hall o Monty Fall, no deberías tener preferencia por uno u otro. Sucede que ganas con probabilidad de 2/3 en todos los casos para Monty Hall, pero diferentes casos dan diferentes probabilidades de ganar para Monty Fall.

Este resultado es, de hecho, más general. Es una aplicación simple del teorema de Bayes para mostrar que, siempre y cuando Monty Hall siempre abra una puerta (que no sea la que elegiste) con una cabra y siempre te ofrezca la opción de cambiar, cambiando las ganancias con probabilidad 2/3. No lo he mostrado todavía, pero sospecho que sus posibilidades no pueden ser peores que 2/3 si Monty también a veces abre la puerta con el automóvil detrás (aunque dado que estamos hablando de intuiciones sobre la probabilidad … tal vez !), aunque el caso totalmente general (a Monty se le permite asignar probabilidades para abrir cualquier puerta, incluida la que eligió originalmente, y posiblemente con diferentes probabilidades dependiendo de la cabra que elija) es más laborioso de resolver.

[1] Asumo la formulación estándar de Monty Hall, en la que Monty elige qué puerta abrir uniformemente al azar cada vez que tiene la opción.

Digamos que usted eligió la Puerta # 1, y tanto en Monty Hall como en Monty Fall, la Puerta # 3 se abre. (Si los números de puerta reales son diferentes, obtendrá los mismos resultados al cambiarlos).

Las posibilidades de ganar en Monty Hall son 1/3 si te quedas, y 2/3 si cambias. Pero es * NO * porque sus posibilidades eran 1/3 antes de que se abriera una puerta, y “no pueden cambiar”. De hecho, pueden, y la comparación con Monty Fall muestra cómo.

La respuesta correcta está determinada por las posibilidades de alcanzar el estado actual del juego, en cada caso posible de dónde está el automóvil.

  • Originalmente había una probabilidad de 1/3 de que el automóvil estuviera detrás del # 3. No hubo oportunidad de alcanzar el estado del juego donde se abrió la Puerta # 3, que muestra una cabra. Así que ignoramos este caso en ambos juegos.
  • Originalmente había una probabilidad de 1/3 de que el automóvil estuviera detrás del # 2. En este caso, Monty Fall acaba de abrir # 3, y Monty Hall se vio obligado a abrirlo. Así que hubo un tercio de alcanzar este estado de juego en cualquier juego.
  • Originalmente había una probabilidad de 1/3 de que el automóvil estuviera detrás del # 1. Monty Fall nuevamente abrió el # 3, y había una probabilidad de 1/3 de alcanzar este estado del juego. Pero Monty Hall tenía una opción: podría haber abierto # 2 o # 3. Si suponemos que elige al azar, había una probabilidad de 1/6 de alcanzar este estado de juego.

En Monty Fall, la probabilidad total de alcanzar el estado era 1/3 + 1/3 = 2/3, y la probabilidad con el automóvil detrás de la Puerta # 1 era 1/3. La probabilidad condicional de que el automóvil esté detrás de la Puerta # 1 es la relación de estos números, (1/3) / (2/3) = 1/2.

En Monty Hall, la probabilidad total de llegar al estado era 1/3 + 1/6 = 1/2, y la probabilidad con el automóvil detrás de la Puerta # 1 era 1/6. La probabilidad condicional de que el automóvil esté detrás de la Puerta # 2 es la relación de estos números, (1/6) / (1/2) = 1/3.

El punto es que la respuesta está determinada por las posibilidades de que la Puerta # 2 podría haberse abierto de la misma manera. Eso no podría suceder en Monty Fall, pero puede suceder en Monty Hall si lo elige al azar. Y si eligió de forma sesgada, digamos que elige # 3 con probabilidad Q = 80%, la misma probabilidad condicional es (Q / 3) / (1/3 + Q / 3) = Q / (1 + Q) = 4 / 9. ¿Ver? Puede cambiar.

Supongamos que ejecuta una simulación del problema Monty Fall 3 millones de veces, cada una independiente de la anterior.

Esperarás escoger el auto primero 1 millón de veces. Monty siempre revelará una cabra durante este millón de carreras, por lo que claramente no debes cambiar.

Por el contrario, espera recoger cabra 2 millones de veces. La diferencia ahora es que Monty revela las últimas dos puertas al azar. Entonces, durante los (esperados) 2 millones de veces que elegiste cabra primero, Monty revelará el auto (un esperado) 1 millón de veces, y la cabra (un esperado) 1 millón de veces.

En total, esperamos que Monty revele la cabra 2 millones de veces. Sin embargo, en un millón de esos dos millones de simulaciones, una expectativa de 1/2, primero habrá elegido el automóvil. Por lo tanto, no hay ninguna ventaja para cambiar.

En el problema de Monty Hall, eliges una puerta, y luego el anfitrión (quién sabe qué hay detrás de las puertas) abre una que no elegiste. Al cambiar, ganas si originalmente elegiste una cabra (probabilidad 2/3) y pierdes si eliges un automóvil (probabilidad 1/3).

No puedes usar esta estrategia en Monty Fall. Todavía puede fingir que hizo una elección inicial, pero el anfitrión no necesita respetar eso; puede muy bien abrir la misma puerta que elegiste, haciendo que la situación sea incomparable a Monty Hall.

Una vez que haya hecho su elección inicial, puede pensar que su probabilidad debe permanecer 1/3. Si bien eso es cierto en Monty Hall, ese no es necesariamente el caso cuando entra en juego el sesgo de sobreviviente. Es decir, los eventos futuros pueden implicar probabilidades pasadas. Aquí hay un ejemplo: lanzas una moneda justa y sale cara. Dependiendo de esa observación, la probabilidad de que surja cara a cara de que el tiempo específico no es 1/2, sino 1. La moneda podría tener igual colas de aterrizaje, pero eso no sería consistente con nuestras observaciones. Eso nos pondría en un universo diferente. Pero en este universo, la probabilidad de cabezas era 1.

En Monty Fall, el hecho de que el anfitrión abrió una puerta diferente de la que “elegimos” nos coloca en un universo diferente del que estaríamos si abriera la puerta elegida. En el último caso (que ocurre con probabilidad 1/3), la probabilidad de que nuestra puerta contuviera el auto es cero, ya que observamos una cabra en nuestra puerta. En el primer caso (que ocurre con probabilidad 2/3), sea p la probabilidad de que nuestra puerta contuviera el auto. Dado que 1/3 es la probabilidad general de que nuestra puerta contuviera el automóvil antes del deslizamiento del anfitrión, tenemos [matemáticas] \ frac {1} {3} = \ frac {1} {3} (0) + \ frac {2} { 3} p [/ math], entonces [math] p = 1/2 [/ math].

El escenario Monty Fall no ofrece mejores probabilidades de cambio porque el anfitrión no sabe dónde está, por lo que cuando quedan dos puertas, ambos tienen la misma probabilidad de tener el automóvil.

Las probabilidades son el resultado esperado cuando el mismo experimento se repite varias veces. Si Monty Fall es uno de esos casos en los que la puerta abierta accidentalmente está vacía, aún debe cambiar, ya que la información incremental sigue siendo la misma que Monty Hall y solo cambia la razón y la fuente de información que no tiene relación con la estrategia óptima. Si la puerta abierta accidentalmente (sin incluir la puerta elegida) se encuentra con el premio, por supuesto, debe cambiar a la abierta si puede, si no, está perdiendo de todos modos.

Si la caída de Monty abre accidentalmente la puerta elegida que está vacía, puede cambiar aleatoriamente una de las dos puertas sin abrir para obtener 50:50 posibilidades de ganar.