¿Hay algún patrón que se pueda usar en un cubo de Rubik en el que el cubo alcance todas las permutaciones posibles? Deportes: mas rapida, mas alta y mas fuerte

No, no hay

De hecho, no hay un patrón / algoritmo / movimiento que pueda usar que tomará más de unos cientos de repeticiones para volver al inicio.

Aquí está cómo ver eso:

Cualquier patrón hará cuatro cosas:

Permutará los bordes. Hay 12 bordes para permutar.
Permutará las esquinas. Hay 8 esquinas para permutar.
Volteará algunos bordes. Cada borde se puede voltear de dos maneras
Girará algunas esquinas. Cada esquina se puede torcer de tres maneras.

Veamos la permutación de las esquinas. Cualquier permutación de un conjunto puede escribirse como una colección de ciclos: la permutación [matemática] P [/ matemática] que lleva ABCDEFGH a DFACGHBE es una combinación de dos ciclos (A, C, D) y (B, G, E, H, F). Esos ciclos se leen como “El valor en la ubicación A va a la ubicación C; el valor en la ubicación C va a la ubicación D, el valor en la ubicación D va a la ubicación A “y la idea correspondiente para el ciclo de 5 elementos. Existen ciclos de 1 elemento, pero generalmente no se escriben.

Si aplica esa misma permutación dos veces más, obtendrá ABCDEFGH-> DFACGHBE-> CHDABEFG-> AECDFGHB. Tenga en cuenta que después de tres aplicaciones de la permutación, los tres elementos involucrados en el ciclo (A, C, D) vuelven a su lugar original. Entonces, la permutación [matemática] P ^ 3 [/ matemática] solo involucra el ciclo 5 (B, H, G, F, E), que después de cinco repeticiones también volverá a la posición original. Entonces [matemáticas] P ^ {15} [/ matemáticas] es la permutación de identidad.

Al aplicar esto al cubo, significa que cualquier permutación de las esquinas se puede dividir en ciclos, el total de esas longitudes de ciclo es 8 y la cantidad de veces que se puede aplicar un algoritmo antes de que las esquinas vuelvan a su lugar original. el mínimo común múltiplo de las longitudes de ciclo de la permutación de esquina del algoritmo. Lo mejor que puede hacer es 15 repeticiones.

Lo mismo se aplica a los bordes: hay 12 bordes para permutar, pero cada permutación se puede dividir en ciclos, el total de esas longitudes de ciclo es 12 y la cantidad de veces que se puede aplicar un algoritmo antes de que los bordes vuelvan a su estado normal. El lugar original es el múltiplo menos común de las longitudes de ciclo. Para los bordes, lo más largo que puede obtener es 60 repeticiones (con ciclos de 5,4 y 3). Pero para nuestros propósitos, eso no es lo mejor que podemos hacer. Si tenemos un algoritmo que devolverá las esquinas a su posición inicial en 15 repeticiones, el algoritmo también devolverá las esquinas a su posición inicial en 60 repeticiones. Sería mejor si pudiéramos elegir un conjunto diferente de ciclos de bordes, de modo que después de que los bordes vuelvan a su lugar, las esquinas todavía estarían fuera de lugar. Afortunadamente, podemos dividir los bordes en ciclos de 7,2,2 y 1, produciendo un tiempo de ciclo de 14. Eso significa que después de hacer nuestro algoritmo 14 veces, los bordes estarán en su lugar, pero las esquinas no be, y después de hacer nuestro algoritmo 15 veces, las esquinas estarán en su lugar, pero los bordes no lo estarán. Tenemos que hacer el algoritmo 210 veces (14 veces 15) antes de que los bordes y las esquinas estén en su lugar. Creo que este es el tiempo de ciclo más largo que podemos hacer.

Sin embargo, no hemos tenido en cuenta los cambios y giros. Desafortunadamente, estos no agregan mucho. Una vez que todo vuelve a su lugar, es posible que algunos bordes se inviertan. En ese caso, tenemos que hacer todo de nuevo para voltear esos bordes, así que pasamos de 210 a 420.

Del mismo modo, después de esas 420 repeticiones, todo se resolverá excepto (posiblemente) el giro de las esquinas. En ese caso, hacer todo el proceso dos veces más (las 420 repeticiones del algoritmo) para un total de 1260 repeticiones del algoritmo resolverá el cubo.

Esto es lo mejor que puedes hacer. La repetición de un algoritmo lo llevará a un total de solo 1260 permutaciones del cubo, un poco menos que las 4+ quintillones de permutaciones de todo el cubo.

En mis primeros días de jugar con el cubo, descubrí que el patrón simple de R'Y' tiene un tiempo de ciclo de 1260 repeticiones. Después de 60 repeticiones, todas las esquinas están en su lugar, pero tres están torcidas. Todos los bordes están orientados correctamente y 5 están resueltos, pero los otros 7 forman un ciclo. Para ello se necesita [matemáticas] 60 \ cdot3 \ cdot7 = 1260 [/ matemáticas] repeticiones de ese patrón simple para resolver.