Si tomaste las 32 piezas de ajedrez estándar y las colocaste al azar en un tablero de ajedrez estándar de 8 × 8, ¿cuál es la probabilidad de jaque mate (de solo uno de los Reyes)?

Answer 1

Nadie lo sabe y es posible que nadie lo sepa nunca.

Soluciones analíticas
Las reglas del ajedrez son lo suficientemente complejas como para que no haya una forma directa de expresar el conjunto de posiciones de “jaque mate” en términos lo suficientemente simples como para cuantificarlas. Los factores que determinan cómo los cambios en las posiciones de las piezas afectan este resultado son demasiado numerosos y complejos para que cualquier persona pueda construir un conjunto exhaustivo. Es posible programar una computadora para evaluar todos los patrones posibles (subconjuntos del diseño) para determinar un conjunto completo de patrones que garanticen el control y luego cuantificar el número de arreglos de tablero que coinciden con esos patrones. Por otra parte, puede que no sea posible hacer esto más rápido que la solución de fuerza bruta (ver más abajo), si determinar el conjunto de patrones es una tarea suficientemente compleja. Pero incluso asumiendo la posibilidad, la dificultad de programar un software tan complejo junto con la relativa trivialidad del problema me lleva a sospechar que nunca se ha intentado, y mucho menos logrado.

Soluciones de fuerza bruta
Sería una tarea simple programar una computadora para generar cada posible disposición de piezas y luego determinar si representa o no un jaque mate. Pero, ¿cuánto tiempo llevaría ejecutar un programa así?
Primero, necesitamos saber cuántas placas generará, que se proporciona aquí:
La respuesta de Robert Kaspar a ¿Cuántas configuraciones posibles de piezas hay en un tablero de ajedrez?
El número total de arreglos aleatorios de piezas en su pregunta es
[matemáticas] 4.82 * 10 ^ {53} [/ matemáticas] si asigna aleatoriamente piezas una por una. Sin embargo, la cantidad de configuraciones posibles es [matemática] 4.63 * 10 ^ {42} [/ matemática] ya que algunas de sus asignaciones aleatorias serían idénticas entre sí, y sabemos con qué frecuencia ocurren, por lo que podemos verificarlas.
Las supercomputadoras más rápidas solo pueden administrar alrededor de 33,860 billones de cálculos por segundo ([matemáticas] 3.39 * 10 ^ {16} [/ matemáticas]), por lo que tomarían [matemáticas] 4.33 * 10 ^ {18} [/ matemáticas] (= 4,330,000 billones) de años para completar esta tarea, incluso si cada diseño tomara solo un cálculo para generar y verificar (lo cual no haría, tomaría al menos miles de cálculos).
Podría reducir este número sustancialmente omitiendo diseños que contienen patrones más pequeños que ya aseguran o impiden el jaque mate, pero incluso si pudiera encontrar suficientes patrones para omitir todos menos 1 de cada 10,000 billones de diseños, el programa aún no terminaría en un humano toda la vida.

Conclusión: no creo que nadie sea capaz de responder la pregunta.

Answer 2

Como casi no tengo conocimiento formal de estadísticas, solo puedo pensar en tales preguntas sobre una base ad-hoc.

Si tuviera la tarea de hacer una estimación, realizaría una simulación que crea posiciones aleatorias en el tablero y realiza un seguimiento de la cantidad total de posiciones, la cantidad de jaque mate y calcula algún intervalo de confianza genérico (como 95% si es suficiente según a las especificaciones del problema) del porcentaje de jaque mate en relación con la cantidad de puestos generados.

Con suerte, sabría cómo hacerlo antes de la fecha límite del proyecto, ya que no tengo idea. Supongo que existen métodos formalizados con los cuales uno puede analizar la varianza de este porcentaje a lo largo del tiempo y derivar una desviación estándar y de eso producir dicho intervalo de confianza.

Entiendo que muchos otros serán capaces de producir respuestas mucho más claras y concretas, pero espero que esto le brinde una perspectiva de cómo podría resolver ese problema con poco o ningún conocimiento previo de estadísticas.