Un contenedor contiene m bolas blancas yn bolas negras. Sacamos las bolas uniformemente al azar del contenedor sin reemplazarlas. ¿Cuál es el número esperado de bolas negras que quedan cuando se han sacado todas las bolas blancas?

Sacar las bolas de manera uniforme al azar es equivalente a sacar las bolas en orden de una de las permutaciones aleatorias de estas m + n bolas. (para que pueda calcular la probabilidad de x bolas negras al final, justo después de una bola blanca y obtener la ecuación para las bolas esperadas a partir de ahí, pero hay otras formas …)

o es equivalente a sacar las bolas en este orden / disposición:
coloque todas las bolas blancas (indistinguibles / idénticas) en una fila, ahora esta disposición divide el espacio en m + 1 intervalos ((1) (2) (3) … (m + 1) intervalos), cualquiera de las bolas negras puede colocarse en cualquiera de los intervalos m + 1 (haga esa colocación, y esto generaría un orden aleatorio uniforme de sacar las bolas).
(1) W (2) W (3) W (4) W (5)… (m) W (m + 1)

Estamos interesados en la cantidad de bolas negras (denotadas como X) que terminan en el intervalo m + 1. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de las bolas negras termine en el intervalo m + 1? Es p = 1 / m + 1, ya que todos los intervalos tienen la misma probabilidad de obtener esa bola.
denota la variable aleatoria, el número (sería 1 o 0) de la primera bola negra en el intervalo m + 1, como X1, y la otra como X2, X3,… .Xn

E (X1) = 1 / m + 1 * 1 + (1-1 / m + 1) * 0 = 1 / m + 1 = E (X2) = E (X3) =… E (Xn)

Número total de bolas negras en m + 1 intervalo = X = X1 + X2 + X3 +… Xn
E (número de bolas negras en el intervalo m + 1) = E (X) = E (X1 + X2 + X3 +… Xn) = E (X1) + E (X2) +… E (Xn) usando la propiedad de linealidad de expectativa .

enchufarlo todo para obtener E (X) = n / m + 1