¿Cuántas manos ha estrechado Hilary?

Answer 1

Hay 10 personas y cada persona tiene un cónyuge con el que no se dan la mano, por lo que cada persona estrechó entre 0 y 8 manos. Sabemos que hay 9 personas que dieron un número diferente de manos, lo que significa que 1 persona estrechó 0 manos, 1 estrechó 1 mano … y 1 persona estrechó 8 manos.

Consideramos un gráfico con 10 vértices que representan personas y un borde entre dos vértices si las dos personas se dan la mano. El número de manos que una persona estrechó es el grado de su vértice. La suma de los grados de todos los vértices es el doble del número de aristas. Si Hillary sacudió un número impar de manos, entonces el doble del número de bordes sería un número impar, lo cual es imposible. Así, Hillary estrechó 0,2,4,6 u 8 manos.

ahora usamos un resultado en la teoría de grafos sobre secuencias gráficas. Hay una gráfica cuyos grados son [matemática] d_1 \ geq d_2 \ geq… \ geq d_n [/ matemática] si y solo si hay una gráfica cuyos grados son [matemática] d_2-1, d_3-1,… d_ {d_1 +1} -1, d_ {d_1 + 2}, …, d_n [/ math]

Entonces, si Hillary estrechó 8 manos:

8,8,7,6,5,4,3,2,1,0 se convierte en

7,6,5,4,3,2,1,0,0 que se convierte en

5,4,3,2,1, -1,0 que es imposible.

Entonces Hillary no estrechó 8 manos.

¿Qué tal 6?

8,7,6,6,5,4,3,2,1,0

6,5,5,4,3,2,1,0,0

4,4,3,2,1,0,0,0

3,2,1,0,0,0,0

1,0, -1,0,0,0,0

No 6 tampoco.

¿Qué hay de 0?

8,7,6,5,4,3,2,1,0,0

6,5,4,3,2,1,0, -1,0

No 0 …

Tal vez 2?

8,7,6,5,4,3,2,2,1,0

6,5,4,3,2,1,1,0,0

4,3,2,1,0,0,0,0

2,1,0, -1,0,0,0

No 2

¡Eso solo deja 4! ¡Entonces ella debe haber estrechado 4 manos! Pero solo para estar seguros, verifiquemos si eso es posible.

8,7,6,5,4,4,3,2,1,0

6,5,4,3,3,2,1,0,0

4,3,2,2,1,0,0,0

2,1,1,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0

¡Eso es definitivamente posible!

Hillary estrechó 4 manos.

Answer 2

Hilary y Jocelyn más otras 4 parejas = 10 personas en total. Dado que nadie se da la mano ni con ellos mismos ni con su pareja, ni más de una vez por otra persona, el mayor número de manos que alguien le dará la mano es 8.

Con Jocelyn sobre la mesa (y presumiblemente todos los demás están en el piso), hay 9 personas con 9 posibles valores diferentes de manos que se estrechan.

Z – 0, Y – 1, X – 2, W – 3, V – 4, U – 5, T – 6, S – 7 y R – 8.

La persona R estrechó 8 manos (todos menos su pareja) y, por lo tanto, debe ser pareja con la persona Z que no estrechó ninguna mano. La persona S estrechó 7 manos (todos menos su compañero y Z), y dado que Y estrechó la mano con R, S no estrechó la mano con Z o Y, por lo tanto, Y y S son una pareja.

Del mismo modo, T y X son una pareja, al igual que U y W. Eso hace que Hilary sea la persona V, que estrechó 4 manos.