Si [math] 1 \ circ3 = 5, 4 \ circ6 = 8, 5 \ circ7 = 11 [/ math], entonces, ¿qué es [math] 13 \ circ15 [/ math]?

Answer 1

Suponiendo que nada supone que el operador [math] \ circ [/ math] es una combinación lineal de los dos argumentos y su producto:

[matemáticas] 1a + 3b + (1 \ cdot3) c = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4a + 6b + (4 \ cdot6) c = 8 [/ matemáticas]
[matemáticas] 5a + 7b + (5 \ cdot7) c = 11 [/ matemáticas]

Este problema se convierte en uno de resolver tres ecuaciones lineales en tres incógnitas que tendrán una solución única. Esta solución se puede calcular fácilmente para ser:

[matemáticas] a = -11/2 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 6/2 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 1/2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] 13 \ circ 15 = 71 [/ matemáticas]

---

Bueno, nuestra respuesta para los argumentos dados resultó ser un número entero, lo cual fue bueno. De hecho, siempre estará en número entero, excepto cuando nuestro primer argumento sea impar y el segundo par. (prueba dejada como ejercicio para el lector!)

Nuestros valores para [math] a [/ math], [math] b [/ math] y [math] c [/ math] se pueden escribir como racionales con un denominador común de números enteros pequeños y numeradores enteros pequeños, lo cual también es bueno . Sin embargo, creo que podríamos hacerlo mejor … simplemente no parece haber una buena ” razón ” para elegir estos valores.

¡Modifiquemos nuestra suposición inicial para incluir algún término constante! Esto nos dará tres ecuaciones lineales en cuatro incógnitas:

[matemáticas] 1a + 3b + 3c + d = 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4a + 6b + 24c + d = 8 [/ matemáticas]
[matemáticas] 5a + 7b + 35c + d = 11 [/ matemáticas]

No habrá soluciones únicas aquí, pero ¿tal vez el grado adicional de libertad nos permitirá hacer una elección ordenada de valores para nuestras incógnitas? Al evaluar el sistema de ecuaciones para encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] d [/ matemáticas] obtenemos:

[matemáticas] a = (-11 + d) / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = (6 – d) / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 1/2 [/ matemáticas]

Sin apariciones de [math] d [/ math] en la expresión para [math] c [/ math], no podemos eliminar por completo el producto del término de dos argumentos. Podríamos eliminar el primer término de argumento dejando [math] d = 11 [/ math], eliminar el segundo término de argumento dejando [math] d = 6 [/ math], hacer que el coeficiente de ambos términos sea el mismo haciendo [matemáticas] d = 17/2 [/ matemáticas]. Para cada uno de estos casos:

d = 11:
[matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = -5/2 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 1/2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] 13 \ circ 15 = 33.5 [/ matemáticas]

d = 6:
[matemáticas] a = 5/2 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 1/2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] 13 \ circ 15 = 33.5 [/ matemáticas]

d = 11:
[matemáticas] a = b = -5/4 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = 1/2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] 13 \ circ 15 = 62.5 [/ matemáticas]

Lamentablemente, no hay ningún valor de [math] d [/ math] que haga que los números enteros [math] a [/ math] y [math] b [/ math] y ninguna de estas nuevas soluciones mejoren a la primera al garantizar respuestas enteras o hacer que la elección de los coeficientes parezca más natural.

Al evaluar esta suposición, hemos descartado el operador que representa la suma de cualquier secuencia corta y ordenada de operaciones de suma, resta, multiplicación o división por números enteros sobre los argumentos o su producto. Sin embargo, dejamos abierta la posibilidad de que represente una expresión simple que use operaciones de diferencia absoluta o que presente el cuadrado o el cubo de cualquiera o ambos argumentos, su suma o su producto … ¡Te lo dejaré a ti!

Answer 2

La respuesta puede ser cualquier número que se te ocurra .

Digamos que me dices que la respuesta es [matemáticas] z [/ matemáticas]. Entonces la ecuación

[matemáticas] x \ circ y = \ dfrac {1} {6912} ((z-71) (x + y) ^ 3 + (2710-26z) (x + y) ^ 2 + (208z-23408) (x + y) + 89376-480z) [/ matemáticas]

cumple todos los requisitos de esta pregunta:

[matemáticas] 1 \ circ 3 = \ dfrac {1} {6912} ((z-71) (4 ^ 3) + (2710-26z) (4 ^ 2) + (208z-23408) (4) + 89376- 480z [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (64z-4544 + 43360-416z + 832z-93632 + 89376-480z) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (34560) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 5. [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 \ circ 6 = \ dfrac {1} {6912} ((z-71) (10 ^ 3) + (2710-26z) (10 ^ 2) + (208z-23408) (10) + 89376- 480z [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (1000z-71000 + 271000-2600z + 2080z-234080 + 89376-480z) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (55296) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 8. [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 \ circ 7 = \ dfrac {1} {6912} ((z-71) (12 ^ 3) + (2710-26z) (12 ^ 2) + (208z-23408) (12) + 89376- 480z [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (1728z-122688 + 390240-3744z + 2496z-280896 + 89376-480z) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (76032) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 11. [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 \ circ 15 = \ dfrac {1} {6912} ((z-71) (28 ^ 3) + (2710-26z) (28 ^ 2) + (208z-23408) (28) + 89376- 480z [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (21952z-1558592 + 2124640-20384z + 5824z-655424 + 89376-480z) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {6912} (6912z) [/ matemáticas]

[matemáticas] = z. [/ matemáticas]

No me creas Pruébalo por ti mismo.

Answer 3

Como otras respuestas han indicado, la respuesta puede ser cualquier cosa.

Voy a sugerir que 27 es un buen candidato.

a + b + csc ((pi / 8) (a + b)) ^ 2 * sgn (csc ((pi / 8) (a + b)))

Justificación. Puedo ver que solo estamos un poco solo agregando.

Suma 1 al primero, resta 2 del segundo, resta 1 del tercero.

Dando la vuelta al círculo de la unidad, quiero una función, s, tal que

s (4) = 1

s (10) = – 2

s (12) = – 1

sin (4pi / 8) = 1, sin (10pi / 8) = – (sqrt (2) / 2) y sin (12pi / 8) = – 1.

No es demasiado difícil obtener mi función requerida de esa información.

Mierda: acabo de notar que mi función se descompone cuando a + b = 8n. Lo que quería es alguna función relacionada con trigonométricos que, a medida que avanza alrededor del círculo en incrementos de 45 grados, es 0,2,1,2,0, -2, -1, -2,0.

Answer 4

Hola, gracias por A2A.

En primer lugar, lo siento mucho, muchachos, cometí un error en la versión anterior de mi respuesta y muchas gracias Abdul Basith Ashraf por mencionar mi error.

Aquí va la respuesta:

Si observa la pregunta, el resultado de cada una de ellas, es decir, 5, 8, 11 es una serie simple donde la diferencia común es 3 y está en progresión aritmética.

Del mismo modo, el lado izquierdo de cada término tiene un patrón como (1,3), (4,6), (5,7), donde los términos impares tienen pares impares y los pares tienen pares. Entonces la serie es así (1,3), (4,6), (5,7), (8,10), (9,11), (12,14), (13,15), … entonces en.

Entonces, en nuestra pregunta, necesitamos una respuesta para (13,15), que es el séptimo término de la serie y, como mencioné, el lado derecho sigue la progresión aritmética con el término inicial como 5 y la diferencia común como 3, por lo que se da el séptimo término por 5 + (7–1) * 3 = 23.

Por lo tanto, la respuesta para (13,15) es 23.

En mi respuesta anterior, nunca consideré el patrón para el lado derecho y solo consideré la progresión aritmética.

Lo siento de nuevo y espero que haya ayudado.

Answer 5

1 + 3 = 5, es decir, la respuesta real 4 se suma por 1 para obtener 5. En la siguiente ecuación, la respuesta se resta por 2 para obtener 6 + 4 = 10. También podemos ver que cuando se agregan números impares, se produce la suma de 1 y para la resta de números pares de 2. Por lo tanto, la respuesta requerida 13 + 15 será igual a 29.

Answer 6

Si continúo la serie, entonces se ve algo así

8 o 10 = 14, 9 o 11 = 17, 12 o 14 = 20 y / o

13 o 15 = 23