Respuesta corta: 100.
Respuesta media:
Si es divisible por diez, tiene que terminar en 0, por lo que necesita un cuadrado que termine en 0. ¿Cuál es el más pequeño? 100. ¿Resulta que es divisible por 4 y 5? Seguro que lo hace:
100/4 = 25.
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100/5 = 20.
Entonces 100 es el cuadrado más pequeño que termina en 0 y es divisible entre 4 y 5, así que ahí lo tienes.
Respuesta larga:
[En todo lo que sigue, el signo ^ significa ‘en el poder de’. Entonces 2 ^ 2 es 2 en la segunda potencia = 2 x 2, 2 ^ 3 es 2 en la tercera potencia = 2 x 2 x 2, etc.]
Para encontrar esto correctamente (como en cualquier caso general, dados los números) necesita ver las descomposiciones primarias de los números dados. Aquí:
4 = 2 ^ 2.
5 = 5 ^ 1 es primo.
10 = 2 x 5 = 2 ^ 1 x 5 ^ 1.
Todos los números primos presentes en las descomposiciones son 2 y 5. Los mayores poderes de ellos son 2 ^ 2 (dentro de 4) y 5 ^ 1 (dentro de 5 y 10).
El mínimo común múltiplo de los tres, también conocido como. el número más pequeño divisible por los tres, es 2 ^ 2 x 5 = 20.
20 es el MCM de 4, 5 y 10, lo que significa el número más pequeño divisible por ellos. Entonces, si 20 es un cuadrado, hemos terminado. Lamentablemente no lo es.
Un producto de cuadrado es en sí mismo un cuadrado. Ahora, 2 ^ 2 es un cuadrado. Sin embargo, 5 = 5 ^ 1 no es un cuadrado. Si ‘aumentamos’ esa potencia de 1 a 2, entonces nuestro producto pasaría de 2 ^ 2 x 5 a 2 ^ 2 x 5 ^ 2 = (2 x 5) ^ 2, un cuadrado. Y, por supuesto, (2 x 5) ^ 2 = 10 ^ 2 = 100.
Entonces, el número que estamos buscando es 2 ^ 2 x 5 ^ 2 = 100.
Entonces 100 es una buena respuesta, ya que es un cuadrado que es divisible por los tres números. ¿Pero es el más pequeño?
100 contiene todos los factores del MCM (el número más pequeño que contiene los números dados) en la potencia más pequeña posible para formar un cuadrado, es decir, la segunda potencia. Entonces sí, es el más pequeño.
Verificación fácil:
Puede verificarlo fácilmente citando todos los cuadrados hasta 100, con sus respectivas descomposiciones de números primos:
1 = 1 ^ 2
4 = 2 ^ 2
9 = 3 ^ 2
16 = 4 ^ 2 = (2 ^ 2) ^ 2 = 2 ^ (2 × 2) = 2 ^ 4
25 = 5 ^ 2
36 = 6 ^ 2 = (2 x 3) ^ 2 = 2 ^ 2 x 3 ^ 2, ¡el primer cuadrado formado por dos números primos!
49 = 7 ^ 2
64 = 8 ^ 2 = (2 ^ 3) ^ 2 = 2 ^ (3 x 2) = 2 ^ 6
81 = 9 ^ 2 = (3 ^ 2) ^ 2 = 3 ^ (2 x 2) = 3 ^ 4
100 = 10 ^ 2 = (2 x 5) ^ 2 = 2 ^ 2 x 5 ^ 2
Entonces el cuadrado más pequeño que contiene 2 y 5 en su descomposición es 100.
Caso general:
En el caso general, para encontrar el cuadrado más pequeño divisible por algunos números, obtienes el MCM de ellos y ‘subes’ cada potencia impar para sí mismo más uno. Entonces, si el MCM de sus números dados fue, por ejemplo
2 ^ 3 x 3 ^ 1 x 5 ^ 4,
Entonces usted:
hasta el 2 ^ 3 a 2 ^ 4 = (2 ^ 2) ^ 2, convirtiéndolo en un cuadrado,
hasta 3 ^ 1 a 3 ^ 2, convirtiéndolo en un cuadrado, y
deje 5 ^ 4 solo: es una potencia par, por lo que ya es un cuadrado: 5 ^ 4 = (5 ^ 2) ^ 2.
Entonces su número sería 2 ^ 4 x 3 ^ 2 x 5 ^ 4, el cuadrado más pequeño que contiene el MCM de sus números dados, por lo tanto, el cuadrado más pequeño divisible por ellos.
La prueba formal del procedimiento es un ejercicio fácil en la teoría de números elementales.
