¿Cuáles son las posibilidades de que 6 jugadores ganen puntos de 10, 11, 13, 14 y 15 después de 5 rondas, con cada ronda dando 0 a 5 puntos a cada jugador?

Answer 1

Las posibilidades son muy pequeñas porque hay muchas posibilidades. Incluso las posibilidades más probables (los 6 jugadores obtienen 12 o 13 puntos) tendrían una probabilidad muy pequeña.

Dado que solo hay valores de 5 puntos para 6 jugadores, necesitaría más información para continuar. Sin embargo, puedo hacer algunos cálculos preliminares. Asumiré que todas las opciones de 6 puntos (0–5) son igualmente probables.

Definiré una variable aleatoria.

X: El número de puntos que gana un solo jugador después de 5 rondas.

Para 0 a 5, esto se puede hacer de manera bastante simple con el método de barras y estrellas.

Habrá 4 barras para separar el número de puntos en las 5 rondas diferentes. Por lo tanto, el número de formas de hacerlo será [matemática] \ binom {x + 4} {4} [/ matemática]

Por lo tanto, para X de 0 a 5, las probabilidades serán:

[matemáticas] \ dfrac {\ dbinom {x + 4} {4}} {6 ^ 5} [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] P (X = 0) = \ dfrac {\ dbinom {0 + 4} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {1} {7776} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 1) = \ dfrac {\ dbinom {1 + 4} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {5} {7776} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 2) = \ dfrac {\ dbinom {2 + 4} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {5} {2592} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 3) = \ dfrac {\ dbinom {3 + 4} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {35} {7776} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 4) = \ dfrac {\ dbinom {4 + 4} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {35} {3888} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 5) = \ dfrac {\ dbinom {5 + 4} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {7} {432} [/ matemáticas]

Como el número máximo de puntos por ronda es 5, desde este punto tenemos que restar los recuentos que tienen 6 puntos o más. Por lo tanto, comenzamos con 6 puntos en una ronda, luego multiplicamos por la cantidad de formas de distribuir los puntos restantes, luego multiplicamos el resultado por 5, ya que hay 5 intentos que podrían ser el que tiene 6 puntos. Eso es difícil de describir, pero aquí está el resultado para los próximos 6 valores de X:

[matemáticas] \ dfrac {\ dbinom {x + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {x-2} {4}} {6 ^ 5} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 6) = \ dfrac {\ dbinom {6 + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {6-2} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {205} { 7776} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 7) = \ dfrac {\ dbinom {7 + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {7-2} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {305} { 7776} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 8) = \ dfrac {\ dbinom {8 + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {8-2} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {35} { 648} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 9) = \ dfrac {\ dbinom {9 + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {9-2} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {5} { 72} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 10) = \ dfrac {\ dbinom {10 + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {10-2} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {217} { 2592} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 11) = \ dfrac {\ dbinom {11 + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {11-2} {4}} {6 ^ 5} = \ dfrac {245} { 2592} [/ matemáticas]

El último valor que tengo que calcular es 12 debido a la simetría del pdf. Para este, también tengo que aplicar el principio de inclusión-exclusión, porque es posible tener 6 veces en los valores contados por el término original, esos se restarían dos veces cuando solo deberían restarse una vez, por lo que tendré que agréguelos nuevamente. Eso da lo siguiente:

[matemáticas] P (X = 12) = \ dfrac {\ dbinom {12 + 4} {4} – 5 \ cdot \ dbinom {12-2} {4} + \ dbinom {5} {2}} {6 ^ 5} = \ dfrac {65} {648} [/ matemáticas]

Debido a la simetría, los otros son solo imágenes especulares:

[matemáticas] P (X = 13) = P (X = 12) = \ dfrac {65} {648} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 14) = P (X = 11) = \ dfrac {245} {2592} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 15) = P (X = 10) = \ dfrac {217} {2592} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 16) = P (X = 9) = \ dfrac {5} {72} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 17) = P (X = 8) = \ dfrac {35} {648} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 18) = P (X = 7) = \ dfrac {305} {7776} [/ matemáticas]

[matemática] P (X = 19) = P (X = 6) = \ dfrac {205} {7776} [/ matemática]

[matemáticas] P (X = 20) = P (X = 5) = \ dfrac {7} {432} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 21) = P (X = 4) = \ dfrac {35} {3888} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 22) = P (X = 3) = \ dfrac {35} {7776} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 23) = P (X = 2) = \ dfrac {5} {2592} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 24) = P (X = 1) = \ dfrac {5} {7776} [/ matemáticas]

[matemáticas] P (X = 25) = P (X = 0) = \ dfrac {1} {7776} [/ matemáticas]

Si sumas las 25 probabilidades, obtienes una probabilidad de 1 como deberías.

Usando esta información, no debería ser demasiado difícil terminar el problema una vez que se da la explicación.