Considérelo como una cuadrícula N * M. ¿Puedes encontrar una fórmula para encontrar el número de cuadrados?

Answer 1

[matemáticas] \ sum_ {r = 1} ^ {M} [N- (r-1)] [M- (r-1)] [/ matemáticas], donde M <N.

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Permítanme comenzar con un ejemplo simple antes de buscar una prueba general.

Considere una cuadrícula de 2 × 3. En otras palabras, sea N = 2, M = 3.
Cuentemos todos los cuadrados que tiene, comenzando desde el que tiene las dimensiones más pequeñas hasta el más grande.

• Cuando la longitud de un lado de un cuadrado es 1 unidad, tenemos dos opciones de lados de 1 unidad a lo largo de la horizontal y tres de los lados de 1 unidad a lo largo de la vertical. Eso le da 2 * 3 = 6 tales cuadrados de unidad de longitud lateral. Haga un recuento rápido si no puede comprender esto de inmediato (es por eso que comencé con un ejemplo simple, para que pueda realizar una verificación cruzada fácilmente); De hecho, hay seis de esos cuadrados.

Básicamente, puede traducir el lado de la longitud de la unidad a lo largo de 2 lugares a lo largo de la horizontal y 3 lugares a lo largo de la vertical.

• Cuando la longitud del lado es de 2 unidades, puede traducir una longitud de 2 unidades a lo largo de un solo lugar horizontalmente (frente a dos lugares en el caso anterior), y solo dos lugares verticalmente (frente a tres lugares en el caso anterior).

Número de 2 × 2 cuadrados = 1 * 2 = 2 (puede verificarlo usted mismo. El formado por los cuatro cuadrados superiores y el formado por los cuatro cuadrados inferiores. Nada más es posible).

• No. de 3 × 3 cuadrados? Eso ni siquiera es posible.

Entonces probablemente desarrollaste la intuición para entender que

• el número de cuadrados 1 × 1 es N * M
• el número de cuadrados 2 × 2 es (N-1) * (M-1)
• el número de cuadrados 3 × 3 es (N-2) * (M-2)

es decir, el número de cuadrados de rxr es [matemático] [N- (r-1)] [M- (r-1)] [/ matemático]

El conteo se detiene cuando alcanzamos la longitud del lado más pequeño (en el caso anterior de la cuadrícula 2 × 3, la longitud del lado más pequeño era 2).
Si M es el número más pequeño, nuestra expresión [matemáticas] [N- (r-1)] [M- (r-1)] [/ matemáticas] en r = M se convierte en (N-M + 1) * (1). Pero r = M + 1 nos da (NM) * (0) = 0, es decir, no existe dicho cuadrado de la longitud de ese lado. Obviamente, tampoco más cuadrados de longitudes laterales más grandes.
Entonces, si M es el número más pequeño, nuestro conteo es así:

• el número de cuadrados 1 × 1 es N * M
• el número de cuadrados 2 × 2 es (N-1) * (M-1)
• el número de cuadrados 3 × 3 es (N-2) * (M-2)

.
.
.

• el número de cuadrados MxM es (N-M + 1) * (1)

Entonces, la expresión para el número total de cuadrados posibles es [math] \ sum_ {r = 1} ^ {M} [N- (r-1)] [M- (r-1)] [/ math], donde M <N.

Answer 2

[matemáticas] (m + 1) C2 * (n + 1) C2 = m (m + 1) * n (n + 1) / 4 [/ matemáticas]
Y cuando m = n,
Número de rectángulos = [matemática] m (m + 1) / 2} ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 +… + m ^ 3 [/ matemática]
Número de cuadrados = [matemáticas] 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 +… + m ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 3

Si suponemos [matemáticas] N \ geq M [/ matemáticas]

El número de cuadrados de tamaño 1 sería: [matemática] M * N [/ matemática]

El número de cuadrados de tamaño 2 sería: [matemática] (M – 1) * (N – 1) [/ matemática]

Extender esto para calcular el número de cuadrados de tamaño M (el cuadrado más grande posible) sería: [matemáticas] (1) * (N – M + 1) [/ matemáticas]

Lo anterior produce una ecuación generalizada de: [math] \ sum_ {i} ^ {m} i * (N-M + i) [/ math]

Puede resolver lo anterior para dar: [matemáticas] \ frac {M * (M + 1) * (3N-M + 1)} {6} [/ matemáticas]

Para probarlo, digamos [matemáticas] N = M = 3 [/ matemáticas]
Obtendría un total de [matemáticas] 14 [/ matemáticas] cuadrados.

Lo anterior es fácil de confirmar, creo.

Puede usar la inducción matemática directamente también para ayudar con esto.

Answer 4

Ahora, le proporcionaré la fórmula estándar para este tipo de preguntas.

1. El primero es cuando la cuadrícula es n * n.
2. el segundo es cuando la cuadrícula es m * n.

Por ejemplo: tienes que encontrar el número total de cuadrados en un cuadrado de cuadrícula de 5 * 5

Esto se puede encontrar utilizando una técnica simple, es decir, 1 (cuadrado) +2 (cuadrado) +3 (cuadrado) +4 (cuadrado) +5 (cuadrado) = 55

Que no es más que 1 (cuadrado) +2 (cuadrado) + …… n (cuadrado), donde n es el no de las cuadrículas formadas.

Ahora, cuando tienes que encontrar el número total de cuadrados en la cuadrícula m * n.

Por ejemplo: la cuadrícula es 4 * 3, descubre el número total de cuadrados.

Esto se puede encontrar a continuación:

4 * 3 + 3 * 2 + 2 * 1 = 12 + 6 + 2 = 20 cuadrados.

Lo que hicimos fue reducir los dígitos de la cuadrícula por 1 y multiplicarlos.

Answer 5

Por supuesto. Solo necesitas ver el patrón.

Para un cuadrado de 1 × 1, puede desplazarlo hacia la derecha N veces, y puede desplazarlo hacia abajo M veces. Obtienes NxM cuadrado.

Para el cuadrado 2 × 2, puede desplazarlo hacia la derecha N-1 veces y hacia abajo M-1 veces. Obtienes (N-1) x (M-1) cuadrado

¿Ves el patrón?

Entonces, para una cuadrícula de MxN, el tamaño cuadrado más alto posible es El mínimo de M y N.

Entonces solo necesitas resumirlo.

Fórmula para contar el cuadrado disponible: F (x) = (N- (x-1)) * (M- (x-1)).
Luego, simplemente sume de x = 1 hasta x = M o N, lo que sea menor.